Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Путем дифференцирования формулы (1) находим, что
d2
- Jxi v'(¦’) - fc"\JG(x). (9)
dt2
Из теории характеристических функций мы знаем, что функция G (х)
d2
в этой формуле однозначно определяется через In с (/). В процессе
доказательства теоремы мы видели, что постоянное у является математическим ожиданием и, значит, так же однозначно определяется посредством функции ip(t).
Отметим, наконец, вероятностный смысл полной вариации функции G(x). Мы знаем, что если случайная величина ? распределена по закону Ф(д:) , то (см. (6) § 33)
d2
; 1п^(/)
г=о
из (9), следовательно, вытекает, что D? = fdG(x) = G(+*o).
В качестве примеров мы приведем каноническое представление норма '.ь-ного закона и закона Пуассона.
Для нормального закона с дисперсией а2 и математическим ожиданием а
( 0 для х < О,
у = а и G(x) =
[ а для х > 0.
1п^
*3 Мы только что доказали, что всякий безгранично делимый закон является либо кемпозицией конечного числа законов Пуассона и нормального закона, либо пределом равномерно сходящейся последовательности таких законов. Таким образом, мы видим. что законы нормальный и Пуассона являются теми основными элементами, из которых составлен каждый безгранично делимый закон.
272
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
Действительно, эта функция и постоянное у приводят к данному закону, так как
1
f {eltx — 1 - itx}—-- dG(x) = x
e'tu — 1 - itu t2a2
= lim----------^------[G(+0)-G(-0)] =-----------— ,
u-*o u 2
а в силу единственности канонического представления другие функции G (х) не могут дать нормального закона.
Подобным же способом легко убедиться, что закону Пуассона с характеристической функцией
^(t) = e^eita-^+ibt соответствует функция G(x) с единственным скачком в точке а:
G(x)
и 7 = b + аХ.
( 0 при х < а, I = I
а2Х при х > а
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов
Мы уже знаем, что если последовательность безгранично делимых законов распределения сходится к предельному закону распределения, то этот предельный закон сам является безгранично делимым. Теперь мы укажем условия, при выполнении которых данная последовательность безгранично делимых функций распределения будет сходиться к предельной.
Теорема 5. Для того чтобы последовательность {Ф„(х)} безгранично делимых функций распределения сходилась при п -> 00 к некоторой функции распределения Ф(х) и дисперсии их сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие постоянное 7 и функция G (.г). для которых при п-+°°
1) G„ (х) сходится в основном к G(x) (— °° < х < + °°).
-) Gn (°°) -* G(°°),
3) 7„
где уп и G„(x) определяются формулой (1) § 43 для закона Ф„(х), а постоянное 7 и функция С(х) определяют по той же формуле предельный закон Ф(х).
Доказательство. Достаточность условий теоремы является непосредственным следствием второй теоремы Хелли. Действительно, из
j 44. Предельная теорема
273
условий теоремы и формулы (1) § 43 следует, что при п^-°°
равномерно в каждом конечном интервале t.
В предыдущем параграфе мы видели, что интегралы
fdG„(u) и fdG(u)
равны дисперсиям законов Ф„(х) и Ф(х); поэтому второе условие теоремы есть не что иное, как требование сходимости дисперсий.
Пусть теперь нам известно, что при п -> °°
и дисперсии законов Ф„(х) сходятся к дисперсии предельного закона Ф(.т). Мы докажем, что эти требования влекут за собой выполнение условий теоремы. В отношении условия 2, как мы только что заметили, это не требует дополнительных рассувдений. Отсюда следует, что полные вариации функций G„(u) ограничены в совокупности. Мы можем, следовательно, воспользоваться первой теоремой Хелли и из последовательности функций Gn(u) выбрать подпоследовательность Gnk(ii), сходящуюся при к к некоторой предельной функции (7оо (и). Наша цель состоит в том, чтобы доказать равенство
Gx(u) = G(u).
Для этого установим сначала, что
при к Пусть А < 0 и Я > 0 — точки непрерывности функций (и); тогда по второй теореме Хелли при к->°°
(О
Jk~ f {e‘tu - 1 -itu) — dGn (и) -> и
J°° ~ f {e'r“ - 1 - itu)—-dGoety)
и
(2)
в
f {eitu
A
A и
С другой стороны, из неравенства
I е1,х - 1 - itx | < 2 | tx |
274
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
мы видим, что
?*= I / + I {e'tu - 1 —dGnk(u)\ <
—00 В w
< 2i м I / + 7 <
1 — в |«|
2\t\ A - 21 r|
< — ( / + /^(a)) < — JdGnk(u),
2 —=» в Г Л
где Г = S). В силу ограниченности вариаций функций G„(u)