Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 97

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 176 >> Следующая


Путем дифференцирования формулы (1) находим, что

d2

- Jxi v'(¦’) - fc"\JG(x). (9)

dt2

Из теории характеристических функций мы знаем, что функция G (х)

d2

в этой формуле однозначно определяется через In с (/). В процессе

доказательства теоремы мы видели, что постоянное у является математическим ожиданием и, значит, так же однозначно определяется посредством функции ip(t).

Отметим, наконец, вероятностный смысл полной вариации функции G(x). Мы знаем, что если случайная величина ? распределена по закону Ф(д:) , то (см. (6) § 33)

d2

; 1п^(/)

г=о

из (9), следовательно, вытекает, что D? = fdG(x) = G(+*o).

В качестве примеров мы приведем каноническое представление норма '.ь-ного закона и закона Пуассона.

Для нормального закона с дисперсией а2 и математическим ожиданием а

( 0 для х < О,

у = а и G(x) =

[ а для х > 0.

1п^

*3 Мы только что доказали, что всякий безгранично делимый закон является либо кемпозицией конечного числа законов Пуассона и нормального закона, либо пределом равномерно сходящейся последовательности таких законов. Таким образом, мы видим. что законы нормальный и Пуассона являются теми основными элементами, из которых составлен каждый безгранично делимый закон.
272

Гл. 9. Теория безгранично делимых законов

Действительно, эта функция и постоянное у приводят к данному закону, так как

1

f {eltx — 1 - itx}—-- dG(x) = x

e'tu — 1 - itu t2a2

= lim----------^------[G(+0)-G(-0)] =-----------— ,

u-*o u 2

а в силу единственности канонического представления другие функции G (х) не могут дать нормального закона.

Подобным же способом легко убедиться, что закону Пуассона с характеристической функцией

^(t) = e^eita-^+ibt соответствует функция G(x) с единственным скачком в точке а:

G(x)

и 7 = b + аХ.

( 0 при х < а, I = I

а2Х при х > а

§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов

Мы уже знаем, что если последовательность безгранично делимых законов распределения сходится к предельному закону распределения, то этот предельный закон сам является безгранично делимым. Теперь мы укажем условия, при выполнении которых данная последовательность безгранично делимых функций распределения будет сходиться к предельной.

Теорема 5. Для того чтобы последовательность {Ф„(х)} безгранично делимых функций распределения сходилась при п -> 00 к некоторой функции распределения Ф(х) и дисперсии их сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие постоянное 7 и функция G (.г). для которых при п-+°°

1) G„ (х) сходится в основном к G(x) (— °° < х < + °°).

-) Gn (°°) -* G(°°),

3) 7„

где уп и G„(x) определяются формулой (1) § 43 для закона Ф„(х), а постоянное 7 и функция С(х) определяют по той же формуле предельный закон Ф(х).

Доказательство. Достаточность условий теоремы является непосредственным следствием второй теоремы Хелли. Действительно, из
j 44. Предельная теорема

273

условий теоремы и формулы (1) § 43 следует, что при п^-°°

равномерно в каждом конечном интервале t.

В предыдущем параграфе мы видели, что интегралы

fdG„(u) и fdG(u)

равны дисперсиям законов Ф„(х) и Ф(х); поэтому второе условие теоремы есть не что иное, как требование сходимости дисперсий.

Пусть теперь нам известно, что при п -> °°

и дисперсии законов Ф„(х) сходятся к дисперсии предельного закона Ф(.т). Мы докажем, что эти требования влекут за собой выполнение условий теоремы. В отношении условия 2, как мы только что заметили, это не требует дополнительных рассувдений. Отсюда следует, что полные вариации функций G„(u) ограничены в совокупности. Мы можем, следовательно, воспользоваться первой теоремой Хелли и из последовательности функций Gn(u) выбрать подпоследовательность Gnk(ii), сходящуюся при к к некоторой предельной функции (7оо (и). Наша цель состоит в том, чтобы доказать равенство

Gx(u) = G(u).

Для этого установим сначала, что

при к Пусть А < 0 и Я > 0 — точки непрерывности функций (и); тогда по второй теореме Хелли при к->°°



Jk~ f {e‘tu - 1 -itu) — dGn (и) -> и

J°° ~ f {e'r“ - 1 - itu)—-dGoety)

и

(2)

в

f {eitu

A

A и

С другой стороны, из неравенства

I е1,х - 1 - itx | < 2 | tx |
274

Гл. 9. Теория безгранично делимых законов

мы видим, что

?*= I / + I {e'tu - 1 —dGnk(u)\ <

—00 В w

< 2i м I / + 7 <

1 — в |«|

2\t\ A - 21 r|

< — ( / + /^(a)) < — JdGnk(u),

2 —=» в Г Л

где Г = S). В силу ограниченности вариаций функций G„(u)
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed