Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
ч>(0 = Ш0)л,
где >p„(t) — некоторая характеристическая функция. Так как tp(t) Ф.О, то это равенство эквивалентно следующему *):
]п^(/) = «1п^„(/) = л1п[1 +^„(Г)- I)].
Каково бы ни было Т, при п -+°° равномерно в интервале \ 1\ < Т
поэтому в любом конечном интервале значений t величина | <pn(t) — 11 может быть сделана меньше любого, наперед заданного числа, лишь бы п было достаточно велико. Мы можем, следовательно, воспользоваться равенством
1п[1 +((?„(/) 1 ] ~(<p„(t)~ 1) (1 + о (1)),
которое дает:
In (?(/)= lim n(^n(t) 1)= lim nf(ettx --1 )с/Ф„(х), (2)
/7 -оо // -> сю
где Ф„(а) — функция распределения, имеющая ip„(t) своей характеристической функцией. Из определения математического ожидания и связи между функциями Ф„(х) и Ф(х) следует,что
п$xd<bn{x) = /хйФ{х).
Обозначим эту величину через у: тогда равенство (2) мы можем переписать в следующем виде:
\п$(1) = iyt + lim nf{e'lx 1 itx)d<b„(x).
/I —» 00
Положим теперь
X
G„(x) = nf u2d<\>n(u).
*) Логарифм здесь понимается в смысле главного значения.
§ 43. Каноническое представление 269
Очевидно, что функции GH(x) не убывают с возрастанием аргумента и G„(— °°) = 0. Кроме того, функции Gn(x) ограничены в совокупности. Последнее утверждение вытекает из свойств дисперсии и связи между функциями Ф(х) и Ф„(х). Действительно,
G„(+°°) = nfu2d<bn(u)= t
= n[fu2d<bn(u) - (1ис1Фп(и))2] + п( fud<t>„(u))2 = а2 + - у2, (3)
н
где а2 — дисперсия закона Ф(х).
В новых обозначениях (см. свойство 6 интеграла Стилтьеса в § 22)
lgi^(0 = iyt + lim f(enx - 1 - itx) — dGn{x).
П ->oo X
Согласно первой теореме Хелли, из последовательности функций Gn(x) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой предельной функции G (х). Если А < 0 и В > 0 являются точками непрерывности функций G (х), то в силу второй теоремы Хелли при к -> 00
/ (eltx - 1 -itx) ——dG„(x) -> / (eitx - 1 -itx)—dG(x). (4)
A X k A X
Мы знаем, что
| eUx — 1 — itx | < | e'tx — 1 | + | tx | < |/x|+|fx|=2|f|" i x |, поэтому
| / + j(e,tx - 1 -itx)—dG„Ax) | <
1 -«о в x k
„itx
A „ \e,rx - 1 - itx I
~72
A „ 1 2\t\ A
<2 U|( / + f—dG (x)) < ( / + fdG (x))
— oo В (x I K I —oo В K
2\t\
< max JdGn (x),
Г 1 < /С <°o *
где Г = min(|/l|, В). Так как вариации функций G„^(w) равномерно ограничены, то, каково бы ни было е > 0, мы можем, выбирая А и В достаточно большими, добиться выполнения неравенства
/ + / (e,tx - 1 - itx) —dG„ (x)
-оо В X К
<е- (5)
для всех t, заключенных в каком-либо конечном интервале, и для всех к.
270
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
Из (4) и (5) следует, что, каково бы ни было е > 0, для всех г, заключенных в произвольном конечном интервале, при достаточно больших п имеет место неравенство
Мы доказали, таким образом, что логарифм характеристической функции любого безгранично делимого закона может быть записан в виде (1). Нам предстоит теперь доказать обратное предложение, что всякая функция, логарифм которой представим по формуле (1), является характеристической функцией некоторого безгранично делимого закона.
Для любого е (0< е< 1) интеграл
где xt = е, хп+х = 1/е, xs < xs < xs + 1, и max(xi+i - xs) -> 0. Каждое слагаемое этой суммы является логарифмом характеристической функции некоторого закона Пуассона. Согласно теоремам 2 и 3 интеграл (6) является логарифмом характеристической функции некоторого безгранично делимого закона. Переходя к пределу при е ->• 0, мы убеждаемся, что то же самое имеет место для интеграла
| f(e'tx - 1 - itx) — dG„k(x) - f(e'tx - 1 - itx) — dG(x) ) < e,
т.е., иными словами,
к-*'*' л л
е
f(eitx
1 — itx) —j- dG(x)
(6)
e
X
по определению интеграла Стилтьеса является пределом сумм
2 (e’tx* - 1 -itxs)— (G(xs+1) -G(xs)),
f (e,tx - 1 - itx)
.2
dG(x).
(7)
X
Подобным же образом доказываем,что интеграл
1
/ (епх - 1 - itx) — dG{x)
(8)
есть логарифм характеристической функции некоторого безгранично делимого закона. Интеграл, стоящий в правой части формулы (1), равен сумме интегралов (7) и (8) и величины
§ 43. Каноническое представление
271
Последнее слагаемое есть логарифм характеристической функции нормального закона. Из теоремы 2 следует, что функция ^(f), представимая формулой (1), является характеристической функцией некоторого безгранично делимого закона*). Нам остается теперь убедиться, что представление ln^(f) формулой (1) единственно, т.е. что функция G (х) и постоянное у однозначно определяются заданием # (t).
