Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что при любом п корень п-й степени из <p(t) есть снова характеристическая функция закона Пуассона, но с другими параметрами: X 1 а, — и — Ъ. п п
Теорема 1. Характеристическая функция безгранично делимого закона не обращается в нуль.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ф(х) - безгранично делимый закон и 1p{t) - его характеристическая функция. Тогда, по определению, при любом п мы имеем равенство
Р{? = ак + Ъ) =
к\
(1)
(2)
266
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
где (?) — некоторая характеристическая функция. В силу непрерывности функции *р (?) существует область значений аргумента i ?| < а, в которой <р (?) Ф 0; понятно, что в этой же области Ф 0- При достаточно
и у------
большом п мы можем величину :| ^„(?)| = v I (/)! сделать сколь угодно близкой к единице равномерно по ? (] ?| < а).
Возьмем теперь, две взаимно независимые случайные величины т?, и rj2, распределенные по некоторому закону F (х), и рассмотрим их разность = — т\г. Характеристическая функция величины г? равна
= iMe'"3’!2 = ! / (?) !2 -
Мы видим, таким образом, что квадрат модуля любой характеристической функции является характеристической функцией.
Далее, так как вещественная характеристическая функция имеет вид
/(0 = I cosxtdF(x), то, следовательно, мы можем написать неравенство
1 — /(2 ?) = /(! - cas2xt)dF(x) = 2/sin2Jt? dF(x) =
= 2/(1 — cosx?)(l +cosjct)dF(x)< 4/(1 — cosxt)dF(x) = 4(1 — /(?)).
Из сказанного мы видим, что функция I <Pnil) I 2 удовлетворяет неравенству
1 - liAiCO'l2 < 4(1- :|^(012).
Из этого неравенства следует,что если я столь велико, что 1 — j<p„(?)| <
< е при |/| < а, то в той же области
1 1 I^COI2 < 4(1 -^и(?)|2)< 8(1 - .|^Я(Г);|)< 8е.
Итак, в области |/|< 2 а
1 - :l Vn (О I < 8е.
Таким образом, при достаточно больших п в области j t\| < 2а, р„(t), а вместе с тем и *р (/) в нуль не обращаются.
Подобным же способом мы докажем, что (?) Ф 0 в области ] /| < 4а, и тд.
Это доказывает нашу теорему.
Теорема 2. Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих безгранично делимые функции распределения, также безгранично делима.
Доказательство. Очевидно, что для доказательства теоремы достаточно ограничиться случаем двух слагаемых. Бели <р (?) и ф(г) — характеристические функции слагаемых, то но условию теоремы
§ 43. Каноническое представление
267
при любом и имеем:
-р(0={^(0}". ^(0=^и(0}и.
где Ipn(t) и \pn(t) — характеристические функции. Поэтому характеристическая функция суммы при любом п удовлетворяет равенству
Теорема 3. Функция распределения, предельная (в смысле сходимости в основном) для последовательности безгранично делимых функций распределения, сама является безгранично делимой.
Доказательство. Пусть последовательность ф(*^(х) безгранично делимых функций распределения сходится в основном к функции распределения Ф(х). Тогда
lim <p(k)(t) = ip(t) (3)
равномерно в каждом конечном интервале t. По условию теоремы при лю-
П !—
бом п функции (под у понимается его главное значение)
(4)
являются характеристическими функциями. Из (3) заключаем, что при каждом п
lim ^k)(t) = «д, (Г). (5)
к
Из непрерывности ip^(t) следует непрерывность В силу предель-
ной теоремы для характеристических функций, <pn(t) есть характеристическая функция. Из (3), (4) и (5) находим, что при каждом п имеет место равенство
*(0 = {<А.(0Г.
что и требовалось доказать.
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов
В дальнейшем мы ограничимся изучением безгранично делимых законов с конечной дисперсией. Целью настоящего параграфа является доказательство следующей теоремы, найденной в 1932 г. А.Н. Колмогоровым и дающей полную характеристику интересующего нас класса законов распределения.
Теорема 4. Для того чтобы' функция распределения Ф(х) с конечной дисперсией была безгранично делимой, необходимо и достаточно, что-
268 Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
бы логарифм ее характеристической функции имел виО
In !/;(/) = iyt + f {е"х - 1 - itx) —— dG(x), (1)
x
где у — вещественная постоянная, a G(x) — неубывающая функция ограниченной вариации. При х = 0 подынтегральная функция считается равной - t2/2.
Доказательство. Предположим сначала, что Ф(х) — безгранично делимый закон и ip (t) — его характеристическая функция. Тогда при любом п
