Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 94

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 176 >> Следующая


и при i t \ < е, если е достаточно мало, получим:

Тогда при ! х j < еВп

Поэтому

ее

\J4 | < 2/ " е 4 dt< 2/ е 4 dt.

А

А

рова).
Упражнения

263

Упражнения

I. Доказать, что при п -

Чу

1 / /п\ П п -=—I — 2 1 1 — V2

i------ J (~) f z2 е *dz-^---------------------------- f е 2 dz.

/«\ 0 ^

Указание. Применить агеорему Ляпунова к распределению х2 ¦

2. Случайные величины

_ : вероятностью 0,5,

” а : вероятностью 0,5

-л С] +па с ]

независимы. Доказать, что при а > —0,5 к ним применима теорема Ляпунова.

3. Доказать, что при п -* °°

» „к 1 е~" 2 — - i ¦ fc=0 2

Указание. Применить теорему Ляпунова к сумме случайных величин с параметром \ = 1.

4. Вероятность появления события А в м испытании равна р., д - число появлений события Л в п независимых испытаниях. Доказать, что

п

м - 2 рк

к=I

—........ < х ,

PL \fht

V ^

*=1 )

тогда и только тогда, когда 2 p-qi = «=.

i=l

5. Доказать, что в условиях предыдущей задачи требование 2 PjQj = 00 достаточ-

(=1

но не только для интегральной, но и для локальной теоремы.
ГЛАВА 9

ТЕОРИЯ БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫХ

ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Долгое время центральной задачей теории вероятностей считали отыскание наиболее общих условий, при выполнении которых функции распределения сумм независимых случайных величин сходятся к нормальному закону. Весьма общие условия, достаточные для этой сходимости, были найдены, как мы говорили об этом в главе 8, А.М. Ляпуновым.

Попытки расширить условия Ляпунова увенчались успехом лишь в тридцатые годы, когда были найдены условия, являющиеся не только достаточными, но и, при весьма естественных ограничениях, необходимыми.

Параллельно с завершением классической проблематики возникло и развилось новое направление в теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин, тесно связанное с возникновением и развитием теории стохастических (случайных) процессов. В первую очередь возник вопрос о том, какие законы, помимо нормального закона, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин.

Оказалось, что класс предельных законов далеко не исчерпывается нормальным законом. Затем возник вопрос об определении условий, которые следует наложить на слагаемые, чтобы функции распределения сумм сходились к тому или иному предельному закону.

В настоящей главе мы ставим своей целью изложение некоторых исследований, посвященных предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. При этом мы ограничиваемся случаем, когда слагаемые имеют конечные дисперсии. Рассмотрение задачи без этого ограничения требует более громоздких вычислений; для ознакомления с ее решением мы отсылаем читателя к упоминавшейся монографии Гнеденко и Колмогорова. В качестве простого следствия излагаемых нами общих теорем мы получим упомянутое нами необходимое и достаточное условие сходимости функций распределения сумм к нормальному закону.

Последний параграф главы посвящен новому направлению исследований — предельным теоремам для сумм случайного числа случайных слагаемых.
§ 42. Свойства безгранично делимых законов

265

§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства

Закон Ф(х) называется безгранично делимым, если при любом п его характеристическая функция является п-й степенью некоторой другой характеристической функции.

Исследования последних лет показали, что безгранично делимые законы играют значительную роль в различных вопросах теории вероятностей. В частности, оказалось, что класс предельных законов для сумм независимых случайных величин совпадает с классом безгранично делимых законов.

Мы перейдем теперь к изложению необходимых нам для дальнейшего свойств безгранично-делимых законов. Это изложение мы начнем с доказательства того, что законы нормальный и Пуассона безгранично делимы. Действительно, характеристическая функция нормального закона, имеющего математическое ожидание а и дисперсию а2 , равна

При любом п корень п-й степени из (О есть снова характеристическая функция нормального закона, только с математическим ожиданием а/п и дисперсией а2 /п.

Мы несколько обобщим встречавшееся ранее понятие закона Пуассона и скажем, что случайная величина ? распределена по закону Пуассона, если она может принимать только значения ак + Ъ, где а и Ъ — вещественные постоянные, а к = 0, 1, 2, . . . и

где X — положительное постоянное. Характеристическая функция для закона (1), как легко подсчитать, дается формулой
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed