Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
= na + kh;
в частности, Р\(к) - Р (ia = a +kh} =рк.
Обозначим далее
an+kh - Ап
z"‘ ‘ т„ •
где Ап = Mf„, В2п = =nD^.
Мы можем теперь доказать следующее предложение, очевидным образом обобщающее локальную предельную теорему Муавра—Лапласа.
Теорема. Пусть независимые решетчатые случайные величины
% \>Ь,•••,?„>•••
имеют одну и ту же функцию распределения F(x) и их математические ожидания и дисперсии конечны. Тогда для того чтобы равномерно относительно к(— °° < к < °°) при п -* 00 имело место соотношение
Вп 1
е > ,о.
необходимо и достаточно, чтобы шаг распределения h был максимальным.
Док а з ательство. Необходимость условия теоремы почти очевидна. Действительно, если шаг h не максимален, то возможные значения
П
суммы = 2 будут содержать систематические пропуски: разность
k = 1
между ближайшими возможными значениями суммы не может быть меньше dh, где d есть общий наибольший делитель разностей возможных значений , деленных на h . Если h — не максимальный шаг, то d > 1 при всех значениях п.
Доказательство достаточности условия теоремы требует несколько более сложных рассуждений.
260 l -'i В. Классическая предельная теорема
Характеристическая функция величины %к(к =1,2,3,...) равна
f(t)= 2 pkeiat+itkh = eiat 2 pkeitkh,
к — — °° к — — 00
а характеристическая функция суммы f есть
fn(t)=eiant 2 Pn(k)eitkh.
к = — оо
Умножив последнее равенство на е
- iant— itkh
в пределах от — ъ/h до 77/й, находим, что
277 */й .
— Л.(*)=/ fn(t)e~tant-ltkh dt.
h --П/h
Заметив, что
hk = Bnznk +An - an (вместо znfc мы будем дальше писать z), можем написать
277 */й
— Л,(*)=/ f*n(t)e~ n dt,
" — 7Г/Й
где обозначено
/м „
и проинтегрировав его
Г(0 = е » ДО-
Положив, наконец, х = tBn, находим окончательно;
^TTBy, ^Bnlh - r*nl Х \
Рп(к) = / е f [B-J
dx.
h — itB n/h
Легко подсчитать, что
1
у/2тг
-*‘/2 =J_
277
fe ,zx х* !2 dx.
Представим разность
§41. Локальная предельная теорема
261
в виде суммы четырех интегралов
Rn =Jl + J2 + ^3+Л, где
Jx = fe-izx
-А
Г
/2
dx,
J2=- f e~izx-x2/2 dx, \x\> A
J з = I e
eBn< \x\<—1
:r
-iZx f*nl _\dX'
Bn
— IZX f* n
r
в,
dx,
где A > 0 — достаточно большое, a e> 0 — достаточно малое постоянные числа, более точные значения которых будут выбраны нами позднее.
В силу следствия из теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, в любом конечном интервале значений t равномерно относительно t выполняется соотношением
Но отсюда следует, что каково бы ни было постоянное А,
Ji -* 0 {п -»¦ °°).
Интеграл J2 оценивается посредством неравенства
\J2 I < / е~х dx < — / хе~х*12 dx - - е~А* I2.
I х I > а Л д А
Выбрав достаточно большое А, мы можем сделать J2 сколь угодно малым. Согласно неравенству (1) имеем
262
Г л. 8. Классическая предельная теорема
Отсюда ясно, что при п -*¦ °°
J з^О.
Для оценки интеграла /4 мы заметим, что существование дисперсии влечет за собой существование второй производной у функции /*(?)• Мы можем, следовательно, в окрестности точки t = 0 воспользоваться согласно (3) § 32 разложением
Выбором достаточно большого А мы можем добиться, чтобы интеграл /4 был сколь угодно мал. Теорема доказана.
Имеется еще другой случай, когда естественно ставить вопрос о локальном поведении функций распределения сумм. Это — случай непрерывных распределений.
Здесь ставится вопрос о том, когда плотности распределения нормированных сумм сходятся к плотности нормального распределения, если соответствующие функции распределения сходятся к нормальной.
Оказывается, что для случая одинаково распределенных независимых слагаемых с конечной дисперсией достаточным является условие интегрируемости плотности слагаемых в какой-либо степени S > 1.
Если отказаться от этого условия, то легко указать примеры случайных величин, имеющих плотности распределения вероятностей и принимающих значения только в ограниченном интервале, но для которых локальная теорема не имеет места (см. монографию Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмого-
