Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
/10 l.v —л|>тБя |.v —а|>гВя
В силу предположения о конечности дисперсии и ее положительности заключаем, что интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, стремится к нулю, когда п -»¦
Теорема Ляпунова. Если для последовательности взаимно независимых случайных величин . . . можно подобрать такое
положительное число 5 > 0, что при л ->¦ °°
«2-WA Misk-«*i1 + 6^o, (10)
Вп k = 1 го лры и -»¦ °° равномерно по х
Доказательство. Нам снова достаточно проверить, что условие Ляпунова (условие (10)) влечет за собой выполнение условия Линдеберга. Но это ясно из следующей цепочки неравенств:
4-2 / (х - ak)2dFk(x)<
Вп к - 1 \x — afc\> тВп
< -~~Ys 2 / l* - flfci2 + <
Вп{тВп) к - 1 \х — ак\>тВп
? /|*-*fcl2+6^fc(x)
1 fc = 1
§41. Локальная предельная теорема
257
§ 41. Локальная предельная теорема
Мы приведем теперь достаточные условия для применения другой классической предельной теоремы — локальной теоремы. При этом мы ограничимся рассмотрением только случая взаимно независимых слагаемых, имеющих одно и то же распределение вероятностей.
Условимся говорить, что дискретная случайная величина ? имеет решетчатое распределение, если существуют такие числа а и h> 0, что все возможные значения ? могут быть представлены в виде a +kh, где параметр к может принимать любые целые значения (— 00 < к < °°).
К решетчатым относятся, например, распределения Пуассона, Бернулли и др.
Выразим теперь условие решетчатости распределения случайной величины ? в терминах характеристических функций. С этой целью докажем следующую лемму.
Лемм а. Для того чтобы случайная величина \ имела решетчатое распределение, необходимо и достаточно, чтобы при некотором t=? О модуль ее характеристической функции был равен единице.
Доказательство. Действительно, если ? распределена решетчато и рк есть вероятность равенства % = a + kh, то характеристическая функция величины % равна
Дг)= ? pkeit{a + kh) =еш ? pkeitkh. к - — 00 к - — 00
Отсюда находим, что
а а
(?тг\ 2 7Тг — « 2 тт / —
-) = е h S Pke2*ik=e h. hi к = - °°
Мы видим, таким образом, что для каждого решетчатого распределения
К?)!-'
Предположим теперь, что при некотором fj Ф О
l/(fi)l=U
и докажем, что при этом ? имеет решетчатое распределение. Последнее равенство означает, что при некотором в
Ah)=eie.
Таким образом,
Jeltl xdF(x) = е,в
9. Б.В. Гнеденко
258
Гл. 8. Классическая предельная теорема
и, следовательно,
fei(t^-e)dF(x)= 1.
Отсюда вытекает, что
/ cos(?xX - в) dF(x) = 1.
Для того чтобы это равенство было возможно, необходимо, чтобы функция F(x) мота расти только при тех значениях х, при которых
cos(?!X0) = 1.
Это означает, что возможные значения % должны быть вида
в 2тг
х = — + к-— , ti т 1
что и требовалось доказать.
Число h мы будем называть шагом распределения.
Шаг распределения h максимален, если ни при каких Ь(- °°<Ь< °°) и hx > h нельзя представить все возможные значения ? в виде b + khx.
Для иллюстрации различия между понятиями шага распределения и максимального шага распределения рассмотрим такой пример. Пусть % может принимать в качестве своих значений все нечетные числа. Очевидно, что все значения % могут быть записаны в виде а + kh, где а = 0, h = 1. Шаг h, однако, не будет максимальным, так как все возможные значения % можем записать также в виде b + khx, где b = 1, h х =2.
Условия максимальности шага распределения можно выразить и в других терминах.
В о-п ервых, шаг распределения будет максимальным тогда и только тогда, когда общий наибольший делитель попарных разностей возможных значений величины |, поделенных на h, равен единице.
В о-в то р ы х, шаг распределения h максимален тогда и только тогда, когда модуль характеристической функции в промужетке 0 < | t \ < 2тг/Л меньше единицы и при t = 2Ttjh равен единице.
Последнее утверждение немедленно вытекает из только что доказанной леммы. В самом деле, если при 0 < tx < 2тг/Л
1/(М1 = 1,
то согласно доказанному величина 2тт/fi должна быть шагом распределения, а так как h < 2-n/ti, то шаг h не может быть максимальным.
Отсюда мы можем сделать такой вывод: если h — максимальный шаг распределения, то для каждого е >0 найдется такое число с0 > 0, что при всех t в интервале е < | f | < 2пJh - е имеет место неравенство
\№\<е~с'. (1)
§41. Локальная предельная теорема
259
Пусть теперь случайные величины ?i > , • • ¦ > > • • ¦ взаимно независи-
мы, решетчато распределены и имеют одну и ту же функцию распределения F(pc). Рассмотрим сумму
Ги=61 + 62 + ¦•¦ + ?„•
Очевидно, что она также является решетчатой случайной величиной и возможные ее значения могут быть записаны в виде па + kh. Обозначим через Рп(к) вероятность равенства