Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
принимая во внимание равенство М %пк = 0, находим, что
fnk(t)~ 1 =/ (e‘tx - 1 — itx)dFnk(x).
§ 40. Теорема Линдеберга 253
Так как при любом вещественном а*)
I еш — 1 — га | < а2 /2, (3)
то
t2
\fnk{t)-l\<—Sx2dFnk(x).
Пусть 6 — произвольное положительное число; тогда очевидно, что Jx2dFnk(x) = f x2dFnk(x)+ f x2dFnk(x)<e2 + J x2dFnk(x).
I x I < e I x I > e |xl>e
Последнее слагаемое может быть, согласно (I1), при достаточно больших п сделано меньше, чем е2. Таким образом, для всех достаточно больших п равномерно относительно &(1 <к<п) и t в любом конечном интервале
\t\<T
\fnk(t)-\\<e2T2.
Отсюда мы заключаем, что равномерно относительно к{\ < & < п)
lim fnk(t) = 1 (4)
П-* 00
и что для всех достаточно больших п при t, лежащих в произвольном конечном интервале 11 \ < Т, выполняется неравенство
\fnk(t)-\ К 1/2. (5)
Мы можем, следовательно, в интервале 11 | < Т написать разложение
*) Эго неравенство и целую серию ему подобных можно вывести хотя бы следующим путем. Из того, что
1<?'“ - 1 I = I ? elxdx | « а (а > 0)
О
вытекает неравенство
а ¦
I е‘а - 1 — ia I = I / (elx - \)dx I « — .
2
Из последнего неравенства далее следует, что
ГУ2 v2 л 3
/л O' у О! IV О!
I в - 1 - ia + — i = I / (elx - 1 - ix)dx I < / I elx - 1 - ix \ dx < / — dx = —,
2 о о о 2 6
(3')
и т.д.
254 Гл. 8. Классическая предельная теорема
(In обозначает главное значение логарифма).
1п<р„(0= 2 In fnk(!)= 2 In [1 +(/„fc(0-О] = fc = 1 fc = 1
= 2 (/„*(?)-1)+Л„, (6)
fc = 1
где
n 00 (_ ] — *
Ля= 2.2 1—i------------(/„,(0-1/.
к = 1 s = 2 S
В силу (5)
|ЛЯ|< 2 2 i \fnk(t)- 1 Is =
к = 1 j = 2 2
1 " U„k(0-H
2
--2 •' '7/ < 2 \fnk(t) - 1 |2.
2 fc = l 1 - |/„fc(0- 1 I * = i
Так как
2 \fnk{f)~ 1 I = 2 fc = l fc = l
/(e"* _ i —itx)dFnk(x)
то
t2
\Rn\< — max l/„*(r)-l|.
2 l < fc < и
Из (4) вытекает, что равномерно относительно f в произвольном конечном интервале | г | < Т, при п -* 00
Л„ - 0. (7)
Но
п t2
s (/„fc(0- !) = -— +р„, (8)
fc = 1 2
где
Рп = -- + 2 /(е1^ - 1 - itx)dFnk(x).
2 fc = 1
§ 40. Теорема Линдеберга
Пусть е> 0 произвольно; тогда в силу (2’)
255
fc=llxl>e\2 /
Неравенства (3) и (3'> позволяют получить следующую оценку:
6 fc = 1 I jc | < е fc = 1 I jc 1 > е
6
6 / fc = 1 1 jc I > е
/ x2dFnk(x)¦
Согласно условию (1) второе слагаемое при любом е>0 может быть сделано меньше любого г?> 0, лишь бы п было достаточно большим. А так как е > 0 произвольно, то мы можем его выбрать настолько малым, чтобы, каковы бы ни были т) > 0 и Т, для всех t, заключенных в интервале 11 | < Т, выполнялось неравенство
Это неравенство показывает, что равномерно в каждом конечном интервале значений t
Собрав вместе соотношения (6), (7), (8) и (9), мы получаем окончательно, что равномерно в каждом конечном интервале t
Теорема доказана.
Следстви е.Если независимые случайные величиныЛг, ¦ ¦ ¦ Лп> ¦ ¦ ¦ одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то при п-+°° равномерно по х
i Рп I < 2 П
(n>n0(e,v,T)).
lim Рп = 0.
(9)
П~* 00
lim In ?>„(0 = — t2 /2.
256
Гл. 8. Классическая предельная теорема
До казательство. Нам достаточно проверить, что при сделанных предположениях выполнено условие Линдеберга. С этой целью заметим, что в нашем случае
Вп = Ьу/п,
где Ъ обозначает дисперсию отдельного слагаемого. Положив M?fc = а, мы можем написать следующие очевидные равенства:
2 -'2- / (х - a)2 dFk(x) =
к - 1 Вп | х — а I > тВ п
1 „ 1 = —тп / (х -a) dFx(x)= — / (х - д)2^^*).
