Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые авторы до сих пор обедняют содержание закона больших чисел и даже искажают его методологическое значение, сводя его попросту к наблюдающейся на опыте закономерности. На самом же деле непреходящая научная ценность исследований Чебышева, Маркова и других исследователей в области закона больших чисел состоит не в том, что они подметили эмпирическую устойчивость средних, а в том, что они нашли те общие условия, выполнение которых обязательно влечет за собой статистическую устойчивость средних.
Для иллюстрации действия закона больших чисел приведем следующий схематический пример. По современным физическим воззрениям любой газ состоит из огромного количества отдельных частиц, находящихся в непрестанном хаотическом движении. Про каждую отдельную молекулу нельзя предсказать, с какой скоростью она будет двигаться и в каком месте она будет находиться в каждый данный момент времени. Однако мы можем рассчитать при определенных условиях, в которых находится газ, долю тех молекул, которые будут двигаться с заданной скоростью, или долю тех из них, которые будут находиться в заданном объеме. Но, собственно, именно это и нужно знать физику, так как основные характеристики газа — давление, температура, вязкость и пр. — определяются не замысловатым поведением одной молекулы, а их совокупным действием. Так, давление газа равно суммарному воздействию молекул, ударившихся
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева
187
о пластинку площади единица за единицу времени. Число ударов и скорости ударившихся молекул меняются в зависимости от случая, однако в силу закона больших чисел (в форме Чебышева) давление должно быть почти постоянным. Это ’’уравнивающее” влияние закона больших чисел в физических явлениях обнаруживается с исключительной точностью. Достаточно вспомнить, что, скажем, в обычных условиях даже очень точные измерения с трудом позволяют отметить уклонения от закона Паскаля о давлении жидкости. Противникам молекулярного строения материи это чрезмерно хорошее совпадение результатов теории с опытом даже служило своеобразным аргументом: если бы материя имела молекулярное строение, то наблюдались бы и уклонения от закона Паскаля. Эти уклонения, так называемые флюктуации давления, действительно удалось наблюдать, когда научились изолировать сравнительно небольшие количества молекул, в результате чего влияние отдельных молекул еще не полностью нивелировалось и оставалось еще достаточно сильным.
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева
Мы перейдем теперь к формулировке и доказательству теорем Чебышева, Маркова и др.; употребляемый при этом метод принадлежит Чебышеву.
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины ?, имеющей конечную дисперсию, при каждом е > 0 имеет место неравенство
Р{|{-М{|>б}<-^-. (1)
е
Доказательство. Если F(x) обозначает функцию распределения случайной величины ?, то ясно, что
f dF(x).
Iх- М? I> е
Так как в области интегрирования | х - М? |/е > 1, то
/ dF(x) < / (x-mfdF(x).
I х - М t | > е 6 | х — М ? | > е
Мы только усилим это неравенство, распространяя интегрирование на все значения х
/ dF(x) « -L /(jc - МtfdF(x) = .
1*-М{|>е е2 е2
Неравенство Чебышева доказано.
Теорема Чебышева. Если %\Лг, ¦ ¦ ¦ Лп,-¦ - - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные диспер-
188
Гл. 6. Закон больших чисел
сии, ограниченные одной и той же постоянной
D*1 <с, d$2<c,...,d$„<c,...,
то, каково бы ни было постоянное е > О,
lim Р
1 я 1 «
2 ---------2
п к = 1 п к = 1
< е
1.
Доказательство. Мы знаем, что в условиях теоремы
1 и \ 1 п
2 %к ) - Т 2 D?fc
п к = 1 и, следовательно,
И к = 1
1 " \ с
DI 2 & <—.
П к = 1 / П
Согласно неравенству Чебышева
1 п 1 и
— 2 2 П к = 1 П к = 1
С
<€ > 1
d(- 2 &)
\ п к = 1 /
Переходя к пределу при п получаем, что
lim Р
1 п 1 п
2 2
п к = \ п к = 1
<е >1.
(2)
А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.
Мы отметим некоторые важные частные случаи теоремы Чебышева.
1. Теорема Бернулли. Пусть ц - число наступлений события А в п независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было е > О,
lim Р
П оо
<е =1..
(3)
Доказательство. Действительно, введя случайные величины iik, равные числу наступлений события А при /с-м испытании, имеем:
II = Д1 + + . . . + цп.
А так как
Мцк=Р, Dnk=pq<l/4,
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева
