Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
0,02 равна или больше 20 м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать, что расстояние действительно равно 5340 м. Таким образом, в нашем примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несущественным и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже еще меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидроэлектростанции, требующей огромных материальных затрат и человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере. Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или йные события практически невозможными или практически достоверными.
В то же время необходимо заметить, что любое событие, имеющее положительную вероятность, как бы мала ни была эта вероятность, может произойти, и если число испытаний, в каждом из которых оно может
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел
185
произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице. Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду. Однако если вероятность некоторого события очень мала, то чрезвычайно трудно ожидать его появления в каком-либо заранее определенном испытании. Так, если некто утверждает, что при первой же раздаче карт между четырьмя партнерами каждый получит карты только одной масти, то естественно заподозрить, что при раздаче руководствовались каким-то определенным соображением, например, расположили карты в определенном, известном сдающему, порядке. Эта наша уверенность основывается на том, что вероятность такой раскладки при хорошей тасовке равна (9!)44!/36! <
< 1,1 • 1СГ18, т.е. чрезвычайно мала. Тем не менее однажды факт такой раскладки карт был зарегистрирован. Этот пример достаточно хорошо иллюстрирует различие между понятиями практической невозможности и невозможности, так сказать, категорической.
Из сказанного понятно, что в практической деятельности, да и в общетеоретических задачах, большое значение имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю. Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями близкими к единице: при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных факторов. Закон больших чисел является одним из таких предложений теории вероятностей и при том важнейшим.
Под законом больших чисел теперь было бы естественно понимать всю совокупность предложений, утверждающих с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние. Это общее представление
о теоремах типа закона больших чисел можно сформулировать и несколько определеннее: пусть дана последовательность случайных величин
?i, ?2. ¦ • ¦, • • • (1)
Рассмотрим случайные величины являющиеся некоторыми заданными симметрическими функциями от первых п величин последовательности (1) :
~ fn (?1 , ?2, • ¦ • , -
Если существует такая последовательность постоянных ах, а2,...., а„,. .. , что при любом е > О
lim P{|fn - ап | <е}= 1,
П —> оо
(2)
186
Гл. 6. Закон больших чисел
то последовательность (1) подчиняется закону больших чисел с заданными функциями
Обычно, однако, в понятие закона больших чисел вкладывается гораздо более определенное содержание. А именно, ограничиваются тем случаем, когда /„ есть среднее арифметическое величин ? х,?2,-¦-,?л¦
Если в соотношении (2) все величины а„ равны одной и той же величине а, то говорят, что случайные величины f„ сходятся по вероятности к д. В этих терминах соотношение (2) означает, что — ап сходится по вероятности к нулю.
Наблюдая единичные явления, мы наблюдаем их вместе со всеми их индивидуальными особенностями, затемняющими проявление тех закономерностей, которые имеют место при наблюдении большого числа аналогичных явлений. То, что факторы, не связанные с существом всего процесса в целом, а проявляющиеся только в единичных его осуществлениях, при рассмотрении среднего из большого числа наблюдений взаимно погашаются, было замечено еще давно.
Позднее этот эмпирический результат отмечался все чаще и чаще и притом, как правило, без попытки найти его теоретическое объяснение. Впрочем, такое объяснение многим авторам и не требовалось, так как наличие закономерностей как в явлениях природы, так и в общественных явлениях для них было не чем иным, как проявлением правил божественного порядка.
