Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 67

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 176 >> Следующая


6. Плотность распределения случайной величины ? равна

_ 1Л' ~<lL

р<:v) = — е а



(распределение Лапласа). Найти М? и D?.

7. Плотность распределения абсолютной величины скорости молекулы дается распределением Максвелла

хг_

Ах2 1

р(х) =-------— е “ при д: > 0

a3\fn

и р(х) =0 при jc < 0, о > 0 - постоянная. Найти среднюю скорость молекулы, ее дисперсию, среднюю кинетическую энергию (масса молекулы равна т) и дисперсию кинетической энергии.

8. Плотность вероятностей молекуле, находящейся в броуновском движении, отстоять на расстоянии х от отталкивающей стенки в момент f, если в момент t0 она отстояла на расстоянии х0, дается формулой

р(х) = 2\JnDt

_ (*+*°)Д _ (*-*¦>)* )

4ДГ 4Dt ( ^ „

е + е J при х > 0,

при х < 0.

Найти математическое ожидание и дисперсию величины перемещения молекулы за время от t0 до t (D — постоянная).
182

Гл. 5. Числовые характеристики

9. Доказать, что для произвольной случайной величины ?, возможные значения которой находятся в промежутке (а, Ъ), выполняются следующие неравенства

а <?<6, D?<(6-a)2/4.

10. Пусть хг, Зс2, . ... хп - возможные значения случайной величины ?. Доказать, что при п

a)M{"+1/Mf"-+maxxj, б) ^М?И ->¦ max xj.

I /

11. Пусть F(x) - функция распределения ?. Доказать, что если М? существует, то

ОО

MW[1 -F(x) + F(-x)]dx

о

и для существования М? необходимо и достаточно, чтобы

lim xF(x) = lim лг{1 — /^(jc)] = 0.

х —»¦ —00 х —¦*¦ °°

12. На отрезок (0,1) наудачу брошены две точки. Найти математическое ожидание, дисперсию и математическое ожидание /i-й степени расстояния между ними.

13. Случайная величина ? распределена логарифмически нормально, т.е. при х > 0 плотность распределения ? равна

р (х) =

1\/2л

(р(х) = 0 при х < 0). Найти М? и D?.

14. Случайная величина ? нормально распределена с параметрами аист. Найти

М | ? - а К п .

15. В ящике содержится 2 билетов; номер i (1 = 0, 1,2,..., л) обозначен на Сп из них. Наудачу вынимаются т билетов, s - сумма их номеров; найти Ms и Ds.

16. Случайные величины tt, (г, . . . , ?п+т (п > т) независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между суммами

s = ?1 + ?2 + ¦ • - + in и ° = tm + l + Ит+2 + • • • + tm + n-

17. Случайные величины ? и 77 независимы и нормально распределены с одними и теми же параметрами аист. Найти коэффициент корреляции между а? + 0т> и а? - 0т), а также их совместное распределение (а и 0 постоянные) .

18. Случайный вектор (?, т/) нормально распределен; М? = а, М77 = Ъ, D? = aj, D77 ~ а\, R - коэффициент корреляции между ? и 77. Доказать, что R = создтг, где

4 = Р{(?-а)(?-Ь)< 0}.

19. Пусть х1 й х2 - результаты двух независимых наблюдений над нормально распределенной величиной ?. Доказать, что М шах(х,, х2 ) = а + а/\/я7 где а = М?, а2 = D?.

20. Случайный вектор (?, 77) нормально распределен; М? =Мт7= С, D? = D77 = I, М?т7 = R. Доказать, что

М шах (?, 77) = V-----------------

тг
Упражнения

183

21. Неровнотой пряжи по длине волокна называется величина

а" - а'

А.=-------- ,

а

где а есть математическое ожидание длины волокна, а" - математическое ожидание длины тех волокон, которые больше а, а' - математическое ожидание длины тех волокон, которые меньше а. Найти связь между величинами (если ? распределено нормально)

а) X, а, М | ? — а I, б) А,,а, а.

22. Случайные величины ?,, ?,, . .., .. . независимы и равномерно распределе-

ны в (0, 1). Пусть р - случайная величина, равная тому к, при котором впервые сумма

= ? 1 + ?з + -•• + ?*;

превосходит 1. Доказать, что Mv = е.

23. Пусть ? - случайная величина с плотностью распределения

1 1 р?м = ;'ТТ7'

Найти М min(| ? I, 1).

(Задачи 22 и 23 сообщены мне М.И. Ядренко.)
ГЛАВА 6

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ § 27. Массовые явления и закон больших чисел

Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт дает право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий с которыми приходится иметь дело. Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя селениями оказалось, что оно равно 5340 л* и ошибка этого измерения с вероятностью
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed