Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
6. Плотность распределения случайной величины ? равна
_ 1Л' ~<lL
р<:v) = — е а
1а
(распределение Лапласа). Найти М? и D?.
7. Плотность распределения абсолютной величины скорости молекулы дается распределением Максвелла
хг_
Ах2 1
р(х) =-------— е “ при д: > 0
a3\fn
и р(х) =0 при jc < 0, о > 0 - постоянная. Найти среднюю скорость молекулы, ее дисперсию, среднюю кинетическую энергию (масса молекулы равна т) и дисперсию кинетической энергии.
8. Плотность вероятностей молекуле, находящейся в броуновском движении, отстоять на расстоянии х от отталкивающей стенки в момент f, если в момент t0 она отстояла на расстоянии х0, дается формулой
р(х) = 2\JnDt
_ (*+*°)Д _ (*-*¦>)* )
4ДГ 4Dt ( ^ „
е + е J при х > 0,
при х < 0.
Найти математическое ожидание и дисперсию величины перемещения молекулы за время от t0 до t (D — постоянная).
182
Гл. 5. Числовые характеристики
9. Доказать, что для произвольной случайной величины ?, возможные значения которой находятся в промежутке (а, Ъ), выполняются следующие неравенства
а <?<6, D?<(6-a)2/4.
10. Пусть хг, Зс2, . ... хп - возможные значения случайной величины ?. Доказать, что при п
a)M{"+1/Mf"-+maxxj, б) ^М?И ->¦ max xj.
I /
11. Пусть F(x) - функция распределения ?. Доказать, что если М? существует, то
ОО
MW[1 -F(x) + F(-x)]dx
о
и для существования М? необходимо и достаточно, чтобы
lim xF(x) = lim лг{1 — /^(jc)] = 0.
х —»¦ —00 х —¦*¦ °°
12. На отрезок (0,1) наудачу брошены две точки. Найти математическое ожидание, дисперсию и математическое ожидание /i-й степени расстояния между ними.
13. Случайная величина ? распределена логарифмически нормально, т.е. при х > 0 плотность распределения ? равна
р (х) =
1\/2л
(р(х) = 0 при х < 0). Найти М? и D?.
14. Случайная величина ? нормально распределена с параметрами аист. Найти
М | ? - а К п .
15. В ящике содержится 2 билетов; номер i (1 = 0, 1,2,..., л) обозначен на Сп из них. Наудачу вынимаются т билетов, s - сумма их номеров; найти Ms и Ds.
16. Случайные величины tt, (г, . . . , ?п+т (п > т) независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между суммами
s = ?1 + ?2 + ¦ • - + in и ° = tm + l + Ит+2 + • • • + tm + n-
17. Случайные величины ? и 77 независимы и нормально распределены с одними и теми же параметрами аист. Найти коэффициент корреляции между а? + 0т> и а? - 0т), а также их совместное распределение (а и 0 постоянные) .
18. Случайный вектор (?, т/) нормально распределен; М? = а, М77 = Ъ, D? = aj, D77 ~ а\, R - коэффициент корреляции между ? и 77. Доказать, что R = создтг, где
4 = Р{(?-а)(?-Ь)< 0}.
19. Пусть х1 й х2 - результаты двух независимых наблюдений над нормально распределенной величиной ?. Доказать, что М шах(х,, х2 ) = а + а/\/я7 где а = М?, а2 = D?.
20. Случайный вектор (?, 77) нормально распределен; М? =Мт7= С, D? = D77 = I, М?т7 = R. Доказать, что
М шах (?, 77) = V-----------------
тг
Упражнения
183
21. Неровнотой пряжи по длине волокна называется величина
а" - а'
А.=-------- ,
а
где а есть математическое ожидание длины волокна, а" - математическое ожидание длины тех волокон, которые больше а, а' - математическое ожидание длины тех волокон, которые меньше а. Найти связь между величинами (если ? распределено нормально)
а) X, а, М | ? — а I, б) А,,а, а.
22. Случайные величины ?,, ?,, . .., .. . независимы и равномерно распределе-
ны в (0, 1). Пусть р - случайная величина, равная тому к, при котором впервые сумма
= ? 1 + ?з + -•• + ?*;
превосходит 1. Доказать, что Mv = е.
23. Пусть ? - случайная величина с плотностью распределения
1 1 р?м = ;'ТТ7'
Найти М min(| ? I, 1).
(Задачи 22 и 23 сообщены мне М.И. Ядренко.)
ГЛАВА 6
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ § 27. Массовые явления и закон больших чисел
Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт дает право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий с которыми приходится иметь дело. Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя селениями оказалось, что оно равно 5340 л* и ошибка этого измерения с вероятностью