Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 66

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 176 >> Следующая


Г— 1 Г+ 1

т г_ 1 и2 + 2т r uv + т r+1 v2 = / [ и \х\ 2q + v\x\ 2q ]2 dF(x). я ~я ~я~

Условие ее неотрицательности состоит, как известно, в том, что

т2 < тг_1 ¦ тг+1. я я я

Это неравенство, очевидно, может быть записано и в таком виде:

mL ** т[=1 ' т!±1 ' я я я

Если придать г последовательно значения от 1 до г, то мы получим последовательность неравенств

т\ < т0т2 , т\'2 < т\ т2ъ,.. . т2г < тгг+1 .

я я я я я я ~я я

Заметив, что всегда т0 - 1, перемножив выписанные неравенства и произведя сокращения, мы приходим к неравенству

<+1 < <м я я

J _L_ 3. JL

Таким образом, т{ < тг+\ , или же тгг < тг+\ ¦ я я~ я ~я~

Это неравенство доказывает, очевидно, теорему, в случае ?, т и к рациональных.

Так как функция т, непрерывна относительно аргумента t в области

О < t < к, то предельным переходом мы убеждаемся в правильности теоремы при любых /, т и к.

Заметим, что в только что доказанной теореме содержится следующее важное свойство моментов:

11 1 _!_ mi < т2 < ml < . . .< тк < ^ ¦

В примерах предьщущих параграфов два первых момента случайной величины полностью определяли ее функцию распределения, если только заранее известен вид этой функции (так это имело место для распределений нормального, Пуассона, равномерного и др._). В математической статистике играют значительную роль законы распределения, зависящие от большего чем два числа параметров. Если заранее известно, что случайная
180

Гл. 5. Числовые характеристики

величина подчинена закону вполне определенного вида, но неизвестны лишь значения параметров, то эти неизвестные параметры в важнейших случаях определяются через первые моменты. Если же нам неизвестно, к. какому виду принадлежит функция распределения, то, вообще говоря, не только знание одних первых, но и знание всех целочисленных моментов не дает возможности определить неизвестную функцию распределения. Оказывается, можно построить примеры различных функций распределения с одинаковыми моментами всех целочисленных порядков. В связи с этим возникает вопрос (проблема моментов): дана последовательность постоянных чисел

со = 1>с1>с2>сз>---‘>

1) при каких условиях существует такая функция распределения F (х), для которой при всех п имеют место равенства

с„ =fxndF(x),

2) когда эта функция единственна?

В настоящее время эта задача получила полное решение, мы не останавливаемся на нем, так как оно стоит в стороне от назначения нашей книги.

Среди прочих числовых характеристик наиболее сушес i венную роль играют так называемые семиинварианты; их определение мы отложим до главы 7, сейчас же отметим только следующее. При сложении независимых случайных величин момент суммы, вообще говоря, не равен сумме моментов слагаемых. Для момента суммы независимых слагаемых ? и т? имеет место равенство

М(? + т?)”=2 СкЩкШ]"~к-

к = О

Семиинварианты различных порядков обладают тем свойством, что при сложении независимых слагаемых семиинвариант суммы равен сумме семиинвариантов слагаемых того же порядка. Оказывается, что семиинвариант любого порядка к есть рациональная функция моментов порядков, меньших или равных к.

Упражнения

1. Случайная величина ( принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

к

а) Р{? = fe} = --------в > 0 - постоянная; это распределение носит назва-

(1 + <?Г+1 ние распределения Паскаля'.
Упражнения

181

( а\ \ к (1 + а). . . (1 + (к - 1) а)

б) р = = к) = ( ------) --------------г,-------------- Ра при всех к > О, где

' 1 + Ct\ / К-

л > О, X > О и р0 = Р{? = 0 = (1 + аЛ. )-1. Это распределение носит название распределения Пойа.

Найти М? и D?.

2. Пусть д - число появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых Р(.4) = р. Найти

а) Мд3, б) Мд4, б) М | д — тгр I.

3. Вероятность появления события А в fc-м испытании равна рк. Пусть д - число появлений события А в п первых независимых испытаниях. Найти

п п

а) Мд, б) Од, в) М (д — S p;)J, г) М (д — X р;)4.

/ =S 1 / = 1

4. Доказать, что в условиях предьщущей задачи максимум Оц достигается для

1 V

данного значения а ~ -- L р{ при условии « 1

р, - Pi = ¦ ¦ -=р„=а-

5. Пусть д - число появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых РС4) = р. Пусть, далее, величина т; равна 0 или 1 в зависимости от того, оказалось д четным или нечетным. Найти Мт;.
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed