Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
10. Некто написал п адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте один из п адресов. Чему равна вероятность того, что хотя бы одно письмо попало по назначению?
11. В урне имеется п билетов с номерами от 1 до п. Билеты вынимаются наудачу по одному (без возвращения). Чему равна вероятность того, что хотя бы при одном вынимании номер вынутого билета совпадает с номером произведенного испытания?
12. Из урны, содержащей п белых и п черных шаров, наудачу вынимается четное число шаров (все различные способы вынуть четное число шаров, независимо от их числа, считаются равновероятными). Найти вероятность того, что среди вынутых шаров окажется одинаковое число черных и белых.
13. Задача кавалера де Мере. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить 1 или при 24 бросаниях двух костей хотя бы раз получить две единицы?
14. На отрезок (0, а) наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что из отрезков, равных расстояниям от точки 0 до точек падения, можно составить треугольник.
15. Стержень длины I разломан в двух наудачу выбранных точках. Чему равна вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник?
16. На отрезок АВ длины а наудачу бросается точка. На отрезок ВС длины b также наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что из отрезков: 1) от точки А до первой брошенной точки, 2) между двумя брошенными точками, 3) от второй брошенной точки до точки С можно составить треугольник?
1.7. В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано N точек.
а) Чему равна вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не менее г ?
N
б) К чему стремится вероятность, найденная в вопросе а), если R ->-<*> и —- -*
R
Примечание. Задача заимствована из звездной астрономии: в окрестности Солнца \ « 0,0063, если Л измерено в парсеках.
18. События А,, А2, . . . , Ап независимы; Р (А^) = рк. Найти вероятность
а) появления хотя бы одного из этих событий,
б) непоявления всех этих событий,
в) появления точно одного (безразлично какого) события.
19. Доказать, что если события А и В несовместимы, Р (А) > 0 и Р (В) > 0, то события А и В зависимы.
20. Пусть А,, А2, . . . , Ап - случайные события. Доказать формулу
Р PfAiAj) +
+ 2 Р(А^Ак)± ...±Р(А,А2...Ап).
Ki<i<k<n
Посредством этой формулы решить задачи 10 и 11.
Упражнения
71
21. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент t = О столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента t, испытывает столкновение в промежуток времени между t и t + At, равна \At + о (At). Найти вероятность того, что время свободного пробега (т.е. время между двумя соседними столкновениями) будет больше t.
22. Считая, что при размножении бактерий делением (на две бактерии) вероятность бактерии разделиться за промежуток времени At равна a A t + о (At) и не зависит от числа предшествующих делений, а также от числа имеющихся бактерий, найти вероятность того, что если в момент 0 была 1 бактерия, то в момент t окажется i бактерий.
ГЛАВА 2
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ § 9. Вводные замечания
Проведение различного рода испытаний и экспериментов является непременным условием развития науки и прогресса прикладных областей деятельности. Прежде чем внести в регистр новый сорт пшеницы, необходимо произвести многочисленные испытания, которые должны дать убедительные данные о тех или иных преимуществах нового сорта по сравнению с прежними: повышенная урожайность, устойчивость к погодным условиям, более короткие сроки вегетации, устойчивость к заболеваниям и пр. Перед тем как ввести в массовое производство новый тип телевизора (вычислительной машины, станка, самолета и т.д.) производятся представительные испытания на его безотказность в работе, простоту наладки, приспособленность к ремонту, долговечность. Новые методы преподавания и измененное содержание обучения также требуют длительных и представительных наблюдений и экспериментов, которые могли бы продемонстрировать их преимущества. То же самое Можно сказать и о проблемах медицины, экономики, организации производства, социальных исследований. Все новое, прежде чем стать достоянием практики, должно быть предварительно тщательно проверено и подтверждено испытаниями, экспериментами и наблюдениями.
Приходится сталкиваться и с другой ситуацией, когда производятся систематические наблюдения за явлениями, происходящими независимо от исследователя. Так, для примера, метеорологи производят наблюдения за числом облачных дней, температурой воздуха в определенные часы суток, его влажностью и пр. Точно также организатор производства наблюдает за производительностью труда при различных формах его организации.
