Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. В современной ядерной физике для измерения интенсивности источника частиц используются счетчики Гейгера. Частица, попавшая в счетчик, вызывает в нем разряд, длящийся время г, в протяжение которого счетчик не регистрирует частицы, попадающие в счетчик. Найти вероятность того, что счетчик сосчитает все частицы, попавшие в него за время t, если выполняются следующие условия: 1) вероятность того, что за промежуток времени t в счетчик попадут к частиц, не зависит от того, сколько частиц попало в счетчик до начала этого промежутка; 2) вероятность того, что за промежуток времени отГ0доГ0+Гв счетчик попадет к частиц, задается формулой **)
(atfe~at
Р*0о, + t) - — >
k\
где a — положительная постоянная; 3) г — постоянная величина.
Решение. Обозначим через A (t) — событие, состоящее в том, что все попавшие за время t в счетчик частицы были сосчитаны; через Вк (г) — событие, состоящее в том, что за время t в счетчик попало к частиц.
*) Их значение определяется условиями, в которых находится группа лиц, подлежащих изучению, и прежде всего социальными условиями.
**) Позднее мы выясним, почему в этом примере и в примере 2 предыдущего параграфа мы считали, что
(at)ke-at Рк к'.
3*
68
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
В силу первого условия задачи при t > т Р U0 + At)} = рио)}р{в0(Дг)} +
+ Р{A(t - г)}Р{б0(г)}Р{В1(ДО} +о(А0,
а при 0 < t < т
Р U0 + At)} = Р{Л(0}Р{В0(ДО> + Р{?о(г)> + P{Bi(Af)} + о(А0-
Обозначим для краткости записи w(t) = Р{Л(?)}; тогда на основании второго и третьего условий задачи при 0 < t < т
7Г (f + At) = 7T(t)e~aAt + e~aAtaAte~at + o(At) и при t> 7
7г(Г + ДО = 7Г(t)e~aAt + 7Г(Г - T)e~aAtaAte~aT + o(At).
Путем перехода к пределу при At -* 0 находим, что при 0 < t < т имеет место равенство
dn(t)
------ = -air(t)+ae , (4)
dt
а при t > г — равенство
Из уравнений (4) находим, что при 0< t< т 7г(0 = e~at(c +at).
Из условия
7Т (0) = 1
определяем постоянную с. Окончательно при 0 < t < т
ir(t) = e~at(\ + at). (6)
При г < t < 2т вероятность n(t) определяется из уравнения dn(t)
------- = ~a[-n(t) — 7г(г - т)е ат] =
dt
= -a[-n(t) - e~a(-r~T\l +a(t - т))е~ат] =
= -a[-n(t) — e~at(l + a(t - r))].
Решение этого уравнения дает нам:
dn(t)
-------- = —a[-rr(t) — ir(t - т)е ].
dt
(5)
Упражнения
69
Постоянное С! может быть найдено из того, что согласно (6) ж (т) = е~ат(1 +ат).
Таким образом, с, =1 и для т < t < 2т a2(t-T)2'
w(t) = е~
1 + at +
2!
Методом полной индукции можно доказать, что для (и — 1)т < f < иг имеет место равенство
, И ak[t ~{к-\)т]к *(f) = e-“2 ¦
к= о к\
Упражнения
А, В, С - случайные события.
1. Каков смысл равенств
а) АВС = А -
б) А + В + С = А?
2. Упростить выражения
а) (А + В) {В + Q ;
б) (А + В) (А + В ); _
в) (А + В) (А + В) (А +В).
3. Доказать равенства
а) АВ =А +В;
б) А+В =АВ\
в) Ах + Аг + .. , + An = AiA1. . ,Ап;
г) Аг А2. . . А„ = J, + А2 + ... + А„.
4. Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Чему равна вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо?
5. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наудачу последовательно вынимаются три карточки, и вынутые таким образом цифры ставятся слева направо. Чему равна вероятность того, что полученное таким образом трехзначное число окажется четным?
6. В партии, состоящей из N изделий, имеются М бракованных. Неудачу выбираются п изделий из этой партии (л < N). Чему равна вероятность того, что среди них окажутся m бракованных (m < М) ?
7. Технический контроль проверяет изделия в партии, состоящей из m изделий первого сорта и п изделий второго сорта. Проверка первых b изделий, выбранных из партии наудачу, показала, что все они второго сорта (b < т). Чему равна вероятность того, что среди следующих двух наудачу выбранных из среды непроверенных изделий по меньшей мере одно окажется также второго сорта?
8. Пользуясь теоретико-вероятностными соображениями, показать тождество
А - а (А - а) (А - д - 1) (А - а) ... 2 ¦ 1 _ А
А- 1+ (Л-1НЛ-2) +---+ (Л - 1) . . . (<? + !)<? а'
70
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Указание. Из урны, содержащей А шаров и среди них а белых, наудачу вынимаются шары без возвращения. Найти вероятность того, что рано или поздно натолкнутся на белый шар.
9. Из ящика, содержащего т белых и п черных шаров (т> п), вынимают наудачу один шар за другим. Чему равна вероятность того, что наступит момент, когда число вынутых черных шаров будет равно числу вынутых белых?
