Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 172

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 .. 176 >> Следующая


Классическая механика пользуется лишь такими схемами, при которых состояние у системы для момента времени t однозначным образом определяется ее состоянием х в любой предшествующий момент f0; математически это выражается формулой у =f(x,t0, t).

Если такая однозначная функция существует, как зто всегда предполагается в классической механике, то мы говорим, что наша схема есть схема вполне детерминированного процесса. К числу вполне детерминированных процессов можно было отнести и те, в которых состояние у не вполне определяется заданием состояния х для единственного момента времени t, существенным образом зависит еще от характера изменения этого состояния перед моментом t. Однако обычно предпочитают избегать такой зависимости от предшествующего поведения системы, для чего расширяют само понятие состояния системы в момент времени t и соответственно этому вводят новые параметры *).

*) Хорошо известный пример применения этого метода мы имеем при описании состояния некоторой механической системы не только координатами ее точек, но также и компонентами их скоростей.
§ 20. Общие представления

439

Вне области классической механики, наряду со схемами вполне детерминированных процессов, часто рассматриваются и такие схемы, где состояние х системы в некоторый момент времени t0 обуславливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент t > f0. Если для любых заданных f0, t > ta и х существует определенная функция распределения вероятностей для состояния у, мы говорим, что наша схема есть схема стохастически определенного процесса. В общем случае эта функция распределения представляется в виде P(f0, х, t, А), причем А обозначает некоторое множество состояний, а Р есть вероятность того, что в момент t окажется реализованным одно из состояний А, принадлежащих этому множеству”.

Но не общефилософское содержание является основным достоинством этой работы А.Н. Колмогорова. В ней были заложены основы теории случайных процессов без последействия и получены дифференциальные уравнения (прямые и обратные), которые управляют вероятностями перехода. В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последействия, подробное развитие которой позднее было дано В. Феллером и В.М. Дубровским.

В настоящее время теория марковских процессов превратилась в большую и разветвленную главу математической науки, которая получила огромное число различных применений в физике, инженерном деле, геофизике, химии и ряде других областей знания.

Построение основ другого класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено А.Я. Хинчиным в упомянутой нами работе. Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляций. Эта работа послужила основанием для последующих исследований Г. Крамера, Г. Вальда, А.Н. Колмогорова и многих других ученых.

В процессе развития теории случайных процессов произошло разделение близких понятий. Если случайная величина ?(f) или вектор (?,(/), • • • , ) со значениями

на числовой прямой зависит от одного вещественного параметра t, то принято говорить о случайном процессе ?(/)• При этом, как правило, параметр t носит название времени. Если время принимает дискретную последовательность значений f,, f 2>... то говорят не о случайном процессе, а о случайной последовательности. Если же случайная величина ? (или вектор) зависит не от одного, а от нескольких параметров, то ее называют случайным полем.

Со случайными полями столкнулись раньше всего в биологии и геофизике, а затем оказалось, что практически все области знания приводят к необходимости рассмотрения наряду со случайными процессами и случайных полей. Рассмотрим примеры.

Обозначим через р(Г, х, у, г) плотность воды в океане. Эта величина изменяется от одной точки к другой и от одного момента времени к другому. Как показывают многочисленные наблюдения, р можно рассматривать как случайное поле.

Рассмотрим изменение силы и направления ветра. Для каждого момента времени и каждой точки пространства сила ветра f (Г, х, у, z) является скалярной величиной, а направление ветра ?(/, x,y,z),i\(t,x,y,z),S (t,x,y,z) — случайным вектором. Это типичный пример скалярного и векторного полей.

Число примеров случайных полей, относящихся к различным областям знания, можно продолжать практически неограниченно.

В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда эта наука еще не создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которые относятся к ее компетенции. Так было с арифметикой и геометрией, алгеброй и теорией чисел. С таким же положением мы сталкиваемся и в теории случайных процессов. Этой теории еще не было, не было и свойственных ей понятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины во времени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались. Для примера еще Н. Бернулли, Монмор и
440

Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed