Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заслуживает пристального внимания то обстоятельство, что в этих записках лекций имеется доказательство и формулировка теорем о математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин. Там же он привел и вывод своего знаменитого неравенства. При этом он предполагал как нечто самоочевидное, что речь идет о независимых величинах. Следует отметить, что сам факт о том, что дисперсия суммы равна сумме дисперсий, имеется и использован Чебышевым в статье ”0 средних величинах”. Там же-влервые встречается и неравенство Чебышева. Следует отметить, что в распространенных учебниках (А. Пуанкаре и Ж. Бертрана) конца прошлого века и начала текущего столетия вообще нет теорем о математическом ожидании и дисперсии.
Естественно спросить себя: когда же стал известен факт, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий всегда, а не только при независимых слагаемых? Пока на это можно лишь ответить, что в учебнике Чубера (1908) и переиздании книги А. Пуанкаре (1912) такой теоремы нет, а в знаменитом для своего времени учебнике ’’Исчисление вероятностей” (1913, 1924) строго доказываются и теорема о математическом ожидании произведения и о математическом ожидании суммы со специальным упоминанием о том, что она верна не только для независимых величин.
436
Гл. 4. К истории теории случайных процессов
В заключение мы должны сказать, что история понятий математического ожидания и дисперсии изучена совершенно недостаточно. Мы видим, что основы понятия математического ожидания возникли одновременно с понятием вероятности, но выделены основные его свойства были очень поздно - только во второй половине прошлого — начале нашего столетия. Неясно, в какой мере на понятие дисперсии влияло уже существовавшее понятие момента инерции. Впрочем, заслуживает внимания и исследование истории становления и развития теории случайных величин. То, что изложено в настоящей главе может считаться лишь первым приближением к истории этого важного раздела научных знаний.
ГЛАВА 4
К ИСТОРИИ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 20. Общие представления
Понятие случайного процесса принадлежит нашему столетию и связано с именами А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Е.Е. Слуцкого, Н. Винера (1894-1965). Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи. Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой.
XX век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено им от прошлого. Действительно, в то время как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния. Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца прошлого — начала нашего века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А.К. Эрланга была начата новая важная область поисков, связанных с изучением загрузки телефонных сетей. Число абонентов изменяется во времени случайно, а длительность каждого разговора обладает большой индивидуальностью. И вот в этих-то условиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способности телефонных сетей, коммутационной аппаратуры и управляющих связью систем. Несомненно, что работы Эрланга оказали значительное влияние не только на решение чисто телефонных задач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, в частности, процессов гибели и размножения.
Во втором десятилетии XX века начались исследования динамики биологических популяций. Итальянский математик Вито Вольтерра разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений. Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений. Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеи процессов и гибели и размножения. Собственно именно от задач биологии и пошло наименование этого очень частного типа случайных процессов.
§20. Общие представления
437
Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-нибудь молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты сталкивается с другими молекулами и меняет при этом направление движения и скорость. Состояние молекулы, таким образом, подвержено случайным изменениям и представляет собой ничто иное, как случайный процесс. Это процесс определяется шестью параметрами -тремя координатами и тремя компонентами скорости. Многие физические явления для своего изучения требуют умения вычислять вероятности того, что определенная доля молекул успеет за заданный промежуток времени перейти из одной области пространства в другую. Например, если приведены в соприкосновение две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую. Происходит диффузия. Как быстро происходит процесс диффузии, по каким Законам и когда образующаяся смесь становится практически однородной? На эти и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, базирующаяся на использовании теории случайных процессов. Очевидно, что подобные же задачи возникают в химии, когда приступают к изучению процессов химических реакций. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, какая особенность протекания реакции со временем, когда реакция практически уже закончилась?
