Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Эта мысль красной строкой проходит и в книге Н. Бернулли ”0 применении искусства предположений в вопросах права”. Он писал там, что ’’правило это (вычисления ожидания - Б.Г.) тождественно с тем, с помощью которого обыкновенно отыскиваются среднее арифметическое нескольких данных величин, а также и с тем правилом смешения, на которое счел уместным сослаться мой дядя”. Далее он рассмотрел пример, заимствованный из рукописи книги Я.Бернулли ’’Искусство предположений”: ’’Если три кружки пива ценой по 13 смешиваются с 2 кружками ценой по 8, то после перемножения 3 на 13 и 2 на 8 получится общая цена всех кружек - 55, что дает путем деления на число всех кружек, т.е. 5, среднюю цену одной кружки смеси, равную 11. Такова же должна быть, согласно правилу, и оценка величины ожидания чего-либо, что будет иметь 3 случая по 13 и 2 случая по 8”. Заметим, что сказанное является ничем иным как повторением правил Гюйгенса. Заслуживает внимания не только то, что Н. Бернулли рассмотрел ожидание для случайных величин, принимающих не только два или три значения, но и большее число значений, но и нечто совсем новое, а именно сравнение формулы для вычисления математического ожидания с правилом вычисления координат центра тяжести системы материальных точек. Вот подлинные слова Н. Бернулли, из той же книги.
’’Еще более заслуживает быть отмеченным особое и исключительное совпадение, наблюдающееся между этим правилом и тем, которое рекомендуется для нахождения центра тяжести нескольких грузов; действительно, ведь сумма моментов, т.е. сумма произведений весов на соответствующие расстояния от какой-либо данной точки, деленная на сумму весов, показывает расстояние от центра тяжести, т.е. той точки, по отношению к которой подвешенные грузы находятся в равновесии, точно также и та средняя, которая получается согласно настоящему правилу, является, так сказать, центром тяжести всех вероятностей, который их так уравновешивает, что ни та, ни другая из них, отклоняясь в ту или другую сторону от средней, не перевешивают друг друга. В целях соблюдения такого же равновесия в сомнительных и темных делах наши юристы придерживаются обычно середины.”
Для XVIII зека обращение к математическому ожиданию было не характерным. Все внимание привлекало понятие вероятности случайного события. В энциклопедии науки о вероятностях - знаменитой книге П. Лапласа ’’Аналитическая теория вероятностей” - нет определения математического ожидания и тем более правил действий с ним. Возможно, это связано с тем, что Лаплас не рассматривал и понятия
§19. Математическое ожидание и дисперсия
435
случайной величины, вместо этого он изучал ошибки наблюдений, плотности их распределений и даже вывел и использовал формулу для плотности суммы двух независимых ошибок. Правда, при этом он не говорил о том, что рассматривались независимые, поскольку другие и не изучались.
Казалось бы создание и развитие теории ошибок наблюдений должно было стимулировать развитие числовых характеристик случайных величин (которые в ту пору еще назывались ошибками измерений). Однако этого не случилось. Впрочем, для нормального распределения были введены понятия истинного значения и точности наблюдений; было известно как их вычислять по плотности распределения. Таким образом для этого частного случая уже была известна формула для вычисления математического ожидания и дисперсии.
Обратим внимание на то, что в начале XIX века нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку с ним столкнулись в теории ошибок наблюдений
и, казалось, доказали в работах Гаусса и Лежандра, что распределение ошибок наблюдений должно быть нормальным. С ним же столкнулись в теории стрельбы. Бельгийский биолог Кетле давал многочисленные свидетельства того, что и в биологии нормальное распределение играет центральную роль. Остальные распределения потеряли интерес, о них попросту не думали. Несомненно, в связи с этим никто и не помышлял о доказательстве теорем относительно математических ожиданий и дисперсий, поскольку для нормального распределения все уже было известно. В связи со сказанным интересно заметить, что в книге П.Л. Чебышева ’’Опыт элементарного анализа теории вероятностей” (М., 1845) понятия случайной величины, математического ожидания и дисперсии даже не упоминаются. Однако в курсе лекций по теории вероятностей, который систематически он читал в Петербургском университете, Че-шев говорит о величинах (имея в виду случайные величины), их математическом ожидании и дисперсии. Более того, в этих лекциях (записанных А.М. Ляпуновым, переписанных у него А.Н. Крыловым и изданных в 1936 г. в издательстве АН СССР) было сказано, что ’’оно (понятие математического ожидания) имеет большее значение на практике, чем сама вероятность, потому что на основании ее у нас составляется суждение о том, что мы можем ожидать перед появлением известного события” (с. 159). Само это утверждение не очень понятно, но, несомненно, Чебышев имел в виду какое-то определенное замечательное свойство математического ожидания. По-видимому , свою роль сыграла и формулировка закона больших чисел в форме Чебышева.
