Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 18. Закон повторного логарифма
От закона больших чисел взяла начало новая предельная закономерность, получившая наименование закона повторного логарифма. Эта теорема не ставит перед собой цели разыскания предельного распределения, но зато переводит задачу рассмотрения последовательных сумм совсем в новую область, а именно изучает поведение этих сумм всех вместе. Мы вначале рассмотрим эту задачу для простейшего случая - для схемы Бернулли. Это вполне естественно; тем более, что это соответствует историческому ходу исследований.
Обозначим через д„ число появлений события А в п независимых испытаниях и рассмотрим разности Sn = - пр. В 1909 г. Э. Борель дал обобщенную формулиров-
ку закона больших чисел, показав, что имеет более сильное утверждение, а именно
Р {Sn/n -> 0} = 1.
Через четыре года Ф. Хаусдорф (1868 - 1942) доказал, что имеет место еще более сильное утверждение, а именно, что при любом е >0
Р{Sn/Jn1 + ? - 0}= 1.
Год спустя, Г. Харди (1877 - 1947) и Дж. Литвуд (1885 - 1977) обнаружили еще более сильное предложение, согласно которому с вероятностью единица отношение
I Sn I/ yjп Inп остается ограниченным. В 1922 г. А.Я. Хинчин дал для роста суммSn оценку Sn = О {y/n In In л). Через два года А.Я. Хинчин нашел окончательный результат.
§ 18. Закон повторного логарифма
433
Оказалось, что
lim sup — — = 1 ¦ = 1.
j “ yj 2 npq In In n ’
В 1926 г. А.Я. Хинчину удалось распространить этот результат на случай схемы Пуассона, т.е. на случай последовательных испытаний с переменной вероятностью появления события А.
Работа А.Н. Колмогорова 1929 г. значительно перекрывала результаты А.Я. Хин-чина, которые являлись для нее простыми следствиями. Этими словами мы не хотим преуменьшить значения работ А.Я. Хинчина, поскольку открыть новую закономерность даже на простом случае заслуживает самой высокой оценки.
Пусть имеется последовательность ?2, . . , взаимно независимых случайных величин, имеющих математические ожидания ак = и дисперсии Ьк = D
п п
Вп = 2 Ьк, Sn = 2 (J;* - ак). Если последовательность iк удовлетворяет
к= 1 к = 1
( / В» \
еще двум условиям: при п ->¦ 1) 2) Цп I < тп = o\sj-/, то она
\ In In Вп /
удовлетворяет закону повторного логарифма, т.е. для нее выполняется соотношение
I . I 'I
Р| lim sup —- = 1 i =1.
( п ->¦ °° V 2 Вп In In Вп )
Иными словами было высказано следующее утверждение: в высказанных предположениях при любых положительных е и 6 можно указать столь большое целое число N, что
1) вероятность того, что хотя бы при одном п > Л'выполнится неравенство
15л I > (1 + 6) s/2Bn In InВп
меньше е и
2) вероятность того, что хотя бы для одного п > N будет выполнено неравенство
15„1 > (1-6) V 2 Вп In In Вп больше 1 - е .
Позднее задачей повторного логарифма занимались многочисленные исследователи - П. Леви, В. Феллер, Зигмунд и Марцинкевич, Хартман, Т.А. Сарымсаков,
В.В. Петров, Б.В. Гнеденко и др. Среди многих прекрасных результатов мы выделим лишь один: если случайные величины ? одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (конечно, отличную от нуля), то это условие достаточно для выполнения закона повторного логарифма. Как показал А.И. Мартикайнен, этот результат допускает обращение*)
*) Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания //Теория вероятностей и ее применения. - 1980. - Т. 25, вып. 2. - С. 364 - 366.
434
Гл. 3. Понятие случайной величины
Аналогичная задача была поставлена для устойчивых распределений, отличных от нормального. При этом выяснилось (Б.В. Гнеденко), что для любой неубывающей функции и (п) и для любого устойчивого закона с показателем а (0 < а < 2)
\Sn\
с вероятностью единица отношение lim sup ------------- равно 0 или бесконечности.
п -* °° и (п)
§ 19. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии
Понятие математического ожидания в самых начальных его элементах было введено в теорию вероятностей очень рано: впервые оно появилось в известной переписке Паскаля с Ферма. В более явной форме оно было введено Гюйгенсом. Именно, первые три предложения являются ничем иным как определением математического ожидания для случайных величин, способных принимать два или три значения. Как мы уже говорили в первой главе сам термин ожидание был предложен Схоутеном -учителем Гюйгенса. Этот термин прижился и сохранился до нашего времени. Но в ту пору этому термину придавался смысл ожидания той средней цены, которую можно дать за приобретение случайной величины, дающей выигрыш х, с вероятностью рх, выигрыш х2 с вероятностью р2,. .., выигрыш хп с вероятностью рп .