Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 166

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 176 >> Следующая


($1 - а,)2 + ... + <?„- а„)2

е

были относительно устойчивы, ап = / xdFn(x), е > 0 - произвольно.

— е

Исследование вопросов сходимости функций распределения к нормальному закону не окончились и в наши дни, но теперь исследуются другие вопросы: быстрота сходимости к предельному распределению, сходимость случайного числа случайных слагаемых, суммирование неравномерно малых случайных величин.

| 17. Общие предельные распределения для сумм

Естественный вопрос о том, какие распределения вообще возможны в качестве предельных для сумм независимых случайных величин при условии, что они примерно одинаковы по величине, возник только в двадцатые-тридцатые годы нашего столетия. Раньше во всей общности этот вопрос не возникал, хотя частные результаты по этому поводу и появлялись. В этом отношении заслуживает упоминания мемуар С. Пуассона ’’О вероятности средних результатов наблюдений”, в котором, пользуясь аппаратом характеристических функций, он вывел распределение суммы большого числа независимых ошибок наблюдений и рассмотрел распределение, которое получило впоследствии название распределения Коши. Для этого распределения Пуассон нашел плотность

1

/(Г) =---------

7Г (1 + JC3 ")

и доказал, что оно обладает двумя следующими свойствами:

1) среднее арифметическое ошибок наблюдений, распределенных по закону Коши, имеет то же распределение, что и каждое слагаемое;

2) для этого распределения точность не повышается от того, что берется среднее арифметическое результатов нескольких наблюдений.

Этот мемуар был опубликован в 1832 г.

На тридцать лет позднее, в 1853 г. в мемуаре ’’О средних результатах наблюдений той же природы и о результатах наиболее вероятных” О. Коши получил характеристическую функцию для всех тех распределений, для которых функция распределения суммы только на множитель при аргументе (коэффициент растяжения) отличается от распределения отдельных слагаемых. Коши нашел, что все такие функции имеют вид f(x) = ехр(- t **), где ц - положительное число. Позднее выяснилось, что /(Г) тогда и только тогда является характеристической функцией, когда 0 < д < 2.
430

Гл. 3. Понятие случайной величины

П. Леви в книге’’Calcul des piobabilite” (1925) в главе VI ’’Экспоненциальные распределения” построил первую теорию устойчивых распределений. Эта теория, естественно продолжала исследования О. Коши, уйдя от них далеко вперед. Пусть Fix) - функция распределения и /(f) - ее характеристическая функция. Распределение F(x) называется устойчивым, если при любых положительных постоянных а1 и а2 найдется такое положительное постоянное а, что выполняется равенство

Да, О -/&72f) = /(af).

В терминах случайных величин рассмотренный класс распределений обладает следующим характеристическим свойством: если и — независимые случайные величины с одним и тем же распределением вероятностей, а1 и а2 — произвольные положительные числа, то для каждой пары а, и а2 найдется такое положительное число а, что сумма а1 + д2?2 имеет такое же распределение как а?г.

П. Леви указал, что для устойчивых распределений функция /(f) имеет вид f

ехр[- с(1 + i/3---) I f Iа], где 0 < а < 2. П. Леви также ввел понятие области притя-

I f I

жения устойчивого закона: множество всех тех распределений F(x), для которых функции распределения независимых и распределенных по этому закону случайных величин при соответствующем нормировании сходятся к данному устойчивому распределению.

В 1935 г. А.Я. Хинчин пополнил понятие устойчивого распределения, введенного П. Леви, а именно: он предложил называть устойчивыми те распределения, для которых линейная форма а, ?, + a2i2 при произвольных положительных постоянных и

имеет такое же распределение, как a+ b, где а - некоторое положительное, а b — вещественное постоянное. Класс устойчивых в смысле Хинчина распределений оказался несколько шире класса П. Леви.

В 1939 г. независимо друг от друга Б.В. Гнеденко и В. Деблин нашли области притяжения устойчивых распределений. Условия принадлежности области притяжения устойчивого закона очень просты и сводятся к поведению ’’хвостов” распределений -поведению исходного распределения при больших значениях аргумента.

Основной результат, принадлежащий П. Леви и А.Я. Хинчину, можно сформулировать так: если ?z, . . . - последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин, то суммы

S„ =

«I + --- + in~Ar

(i)

при надлежащем выборе постоянных Вп > 0 и вещественных Ап могут сходиться только к устойчивым законам распределения. Каждый устойчивый закон является предельным для функций распределения сумм (1).

В заметке 1936 г. П. Леви и А.Я. Хинчин дали окончательное представление устойчивых распределений через логарифмы характеристической функции. Чтобы функция ?)(f) была характеристической функцией устойчивого распределения, необходимо и дотаточно следующее ее представление:
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed