Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Сначала Ляпунов показал, что если величины имеют конечные третьи моменты
п п
ск = МI - ак I3. Сп - ? ск, В*п = ? и соотношение Сп/В3п при п -» °° сгре-к = 1 к = 1
мится к нулю, то имеет место сходимость функций распределения сумм Sn к нормальному распределению.
На следующий год Ляпунов же обнаружил, что для окончательного результата не обязательно требовать существования третьих моментов слагаемых. Достаточно, если существуют моменты некоторого порядка 2 + 6, где 6 > 0. Ляпунов показал, что для сходимости нормированных корнем из дисперсии сумм независимых слагаемых к нормальному распределению достаточно выполнения следующего условия: пусть
ск = М\%к - + Сп= ? ск\ отношение + г должно с ростом п стреми-
fc = 1
ться к 0.
428
Гл. 3. Понятие случайной величины
Ляпунов сделал несколько большее: он оценил скорость сходимости к предельному распределению функций распределения сумм. Порядок этой оценки оказался равным п~ 112\пп.
Точно также в упомянутой статье Чебышева, помимо предложения о сходимости к нормальному распределению, было дано асимптотическое разложение по степеням ч/гг1.
Общность результатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников. По-видимому, именно в ту пору и появился термин ’’центральная предельная теорема” для обозначения условий сходимости функций распределения нормированных и центрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению. Марков подошел к результатам Ляпунова с далеко иных позиций. В связи с этим полезно привести подлинные слова Маркова: "Общность выводов в последней работе Ляпунова далеко превзошла ту, которая была достигнута методом математических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов методом математических ожиданий казалось даже невозможным, ибо он основан на рассмотрении таких математических ожиданий в неограниченном числе, существование которых в случаях Ляпунова не предполагается.
Для восстановления поколебленного таким образом значения метода математических ожиданий необходимо бьио выяснить, что вышеупомянутыми работами он не исчерпан до конца”. Марков в 1908 г. выступил с замечательной идеей - урезания случайных величин. Этот прием дал возможность доказать предельную теорему в условиях Ляпунова методом моментов или, как говорил Марков, методом математических ожиданий. Идея урезания прочно вошла в жизнь теории вероятностей.
Дальнейшая судьба центральной предельной теоремы такова: в 1922 г. финскому математику Линдебергу удалось пойти дальше Ляпунова и отказаться от предположения существования даже каких-либо моментов, кроме вторых. А именно, он доказал, что если при любом г > 0 имеет место соотношение 1 п
lim — ? / (x-akfdFk(,x) = 0,
и Вп к = 1 \х-ак\>тВп
то функция распределения сумм центрированных математическими ожиданиями и нормированных корнем квадратным из суммы дисперсий слагаемых сходятся к стандартному нормальному распределению.
Через 12лет В. Феллер показал, что условие Линдеберга является и необходимым в предположении, что слагаемые равномерно малы.
Ясно, что из теоремы Линдеберга в качестве следствия получается давно ожидавшийся результат: если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, отличную от 0, то к суммам таких величин применима центральная предельная теорема теории вероятностей.
В работе 1927 г. С.Н. Бернштейн рассмотрел несколько более общую задачу: имеется последовательность независимых случайных величин , . . . , , . . . ,
относительно которых не предполагается ни существования дисперсий, ни существования математических ожиданий. Спрашивается: когда можно подыскать такие
Sn —
постоянные Вп > 0 и Ап, что функции распределения сумм ----------- сходятся к нор-
В„
мальному распределению?
Достаточные условия для этой задачи были найдены Бернштейном в той же работе 1927 г.; через восемь лет Феллер показал, что эти условия не только достаточны, но и необходимы в предположении, что слагаемые равномерно малы в смысле теории вероятностей.
§17. Общие предельные распределения для сумм
429
В том же 1935 г. независимо один от другого А.Я. Хинчин и П. Леви в постановке
С.Н. Бернштейна нашли необходимое и достаточное условие сходимости к нормальному распределению функций распределения сумм независимых, одинаково распределенных случайных величин.
Еще в 1926 г. в специальном курсе по предельным теоремам А.Я. Хинчин задал следующий вопрос: имеется ли связь между законом больших чисел и центральной предельной теоремой? Ответ был найден Д А. Райковым и А.А. Бобровым, которые доказали следующую теорему: чтобы функции распределения сумм
е» +--- + ея-^я
при надлежащем выборе действительных постоянных Вп > 0 и Лп сходились к нормальному распределению, необходимо и достаточно чтобы суммы