Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 164

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 176 >> Следующая


Интерес к нормальному распределению в начале XIX века возрос в связи с появлением знаменитых исследований Лежандра и Гаусса по формулировке и обоснованию метода наименьших квадратов. Ф.В. Бессель еще в 1818 г. в работе ’’Fundamenta Astionomiae pro anno 1755 deducta ex observationibus viii incomportabilis James Bradley in specula Grenovicensi pro annis 1750-1762 institutis” заметил, что наблюдения гринви-ческого астронома Брэдли прекрасно укладываются в схему нормального распределения. Объяснение, которое он предложил этому факту, совпадает с идеей, которую перед этим в течение тридцати лет вынашивал Лаплас: результирующая большого числа случайных воздействий, каждое из которых оказывается малым по сравнению с суммой остальных,подчиняется общему закону и этот общий закон должен быть нормальным. Эту мысль в совершенно отчетливой форме повторил Бессель также в работе 1838 г. (Untersuchungen iiber die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler//Astr. Nachr. - 1838. - C. 231). Справедливости ради следует сказать, что Бессель обратил внимание на то, что это правило не является всеобщим и могут у ошибок наблюдений встречаться другие, отличные от нормального распределения. Так, если при измерении углов один источник ошибок превалирует над всеми остальными, то плотность распре-

1

деления результирующей ошибки может быть /(Г) = — .

п-Jo1 - хг

Та же концепция обоснования нормального закона, как закона распределения ошибок, дважды встречается в известном учебнике А. Пуанкаре ’’Calcul des probabili-tes” (Paris, 1912). Первый раз в конце § 140 он писал, что ’’ошибка, связанная с инструментом, есть результирующая очень большого числа независимых одна от другой ошибок, таких, что каждая из них приносит лишь слабую долю в результат; результирующая ошибка следует закону Гаусса”. Затем в самом начале § 144 был подведен следующий итог:

’’Резюмируя, предположим, что окончательная ошибка будет результирующей очень большого числа частых погрешностей, независимых друг от друга, и что нет ошибок систематических; предположим также, что эти ошибки будут иметь приблизительно один и тот же порядок величины, внося каждая в общий результат лишь незначительную долю. В этом случае результирующая ошибка следует приблизительно закону Гаусса.

Такой, мне кажется, лучший довод, который можно дать в пользу закона Гаусса.”

Следует сказать, что все эти идеи носят лишь качественный характер и нуждаются в математическом оформлении и последующем доказательстве строгих теорем.

Второй толчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теории вероятностей, была статистическая физика, начала которой были построены в середине XIX века. Первый общий результат в этом направлении был сформулирован в 1887 г. в работе ”0 двух теоремах относительно вероятностей” П.Л. Чебышева. Сформулированная Чебышевым теорема звучит следующим образом:

Если математические ожидания величин ut,u2, . . . равны 0, а математические ожидания всех их степеней имеют числовую величину ниже какого-либо предела.
§ 16. Центральная предельная теорема

427

вероятность того, что сумма и, +а, + . .. +ип, деленная на квадратный корень из удвоенной суммы математических ожиданий их квадратов, заключается между двумя какими-нибудь пределами t и Г' с возрастанием п до °° имеет пределом интеграл

1 *' -z*

-7= Se dz-V* t

Для доказательства этого предложения Чебышевым был разработан весьма сильный метод, получивший наименование метода моментов и являющийся одним из крупнейших достижений науки того времени. Однако в формулировке теоремы и в ее доказательстве был допущен ряд промахов, которые сразу же взялся исправить ученик П.Л. Чебышева А.А. Марков. Критика мемуара Чебышева содержится в письмах Маркова к профессору Казанского университета А.В. Васильеву, который счел необходимым опубликовать ее в 1898 г. (’’Закон больших чисел и метод наименьших квадратов”). В этих письмах Марковым была совершенно строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева:

Если 5„ - последовательность сумм и1 + ы2 + . . . +ип и Фп(х) - их функции распределения, то из предположения, что при любом целом положительном к имеют место соотношения

S xkd<t>n(x)-> -L 1 xke~x7/2dx

__оо ^/2п-оо

вытекает, что при любых а и Ъ имеет место равенство р(й<—- < ь\~* — ! e~x,/2dz.

I DS„ > а

Метод моментов,которым работал Чебышев, торжествовал победу. Была доказана сильная и, казалось бы, окончательная теорема. Некоторую неудовлетворенность приносило только то, что для простого результата требовалось выполнение счетного множества условий. Неожиданно в нескольких публикациях А.М. Ляпунова на протяжении 1900 и 1901 гг. было обнаружено, что окончательный результат имеет место при выполнении только одного очень простого условия, которое, вдобавок, выясняло смысл тех предположений, которые должны приводить к сходимости распределений нормированных и центрированных сумм к нормальному распределению.
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed