Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
относительно устойчивы, если можно найти такие положительные константы А п > О, что при любом е >0 и п -»¦ ~ выполняется соотношение
В случае одинаково распределенных величин ?п Хинчину удалось найти необходимое и достаточное условие для относительной устойчивости сумм Sn. Ученик А.Я. Хинчина А.А. Бобров (р. 1912) распространил этот результат на случай разнораспреде-ленных слагаемых.
Закон больших чисел рассматривался вплоть до 1939 г. как особая предельная теорема и рассматривался обособленно от остальных предельных теорем для сумм независимых случайных величин. В работе Б.В. Гнеденко, о которой речь пойдет в § 17, закон больших чисел был включен в общую теорию предельных теорем, когда предельное распределение имеет единственную точку роста в нуле. Точно также теоремы об относительной устойчивости сумм являются предельными для того случая, когда предельное распределение имеет единственную точку роста при х = 1.
Существенное расширение проблематики, связанной с законом больших чисел, было осуществлено В.И. Гливенко в работах, относящихся к 1929 - 1933 гг., когда он начал рассматривать предельные теоремы для случайных величин со значениями в функциональных пространствах. Пожалуй, вершиной его результатов является замечательная теорема о сходимости эмпирических распределений к истинной функции распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема Гливенко, сразу же после ее опубликования, была названа Кантелли основной теоремой математической статистики.
Теорема Гливенко неоднократно обобщалась. В этом направлении работало большое число исследователей, среди которых отметим лишь фразцузских ученых Р. Форте (р. 1912) и Э. Мурье.
§ 16. Центральная предельная теорема
425
§ 16. Центральная предельная теорема
Теорема Муавра о сходимости распределений центрированного и нормированного числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью р, к нормальному распределению долгое время служила образцом для последующих обобщений. Пожалуй, первое обобщение принадлежит Лапласу и уже формулируется как предельная теорема для сумм независимых случайных величин ? каждая из которых равномерно распределена на отрезке ( - h , h ). Это было сделано в работе ’’Memoiie sui les approximation des formules qui sont fonctions de tres grands nombres et sur leur application aux probabilite's” (1809). Лаплас в нем рассматривал дискретные случайные величины с увеличивающимся числом возможных значений. Этим самым давалась аппроксимация непрерывного распределения дискретным. Лаплас доказал, что для каждого s имеет место такой результат:
( S„ \ 2^Т s -
lim Р | - s < -------- < s | =--------- / е 20 dx,
п -*¦ °° [ урп j h s/Yn 0
или
п
S„ = 2 ik, о2 = А2/3.
к = 1
Заслуживает внимания тот факт, что Лаплас при доказательстве этого результата использовал метод характеристических функций, который, естественно, так тогда еще не назывался.
Существенное продвижение исследований по предельной теореме связано с именем Пуассона. В знаменитом мемуаре 1837 г. ’’Recherches sur la probabilite des jujements . . . ”он рассмотрел схему последовательности независимых испытаний с разными вероятностями появления события А в каждом из испытаний. Пусть вероятность наступления А при к-м испытании равна рк. Пуассон доказал для этого
ОО
случая локальную теорему: Если ряд 2 рк{1 — рк) расходится, то вероятность
к= 1
того, что в п испытаниях событие появится т раз равна
г I—» 1 _д2 hd а2
Р {т = пр -вс s/n } = ------------- е —---------------— (3 + 2в2) е ,
С V Я/1 2 с4л >/ ТТ
где
In 4 п
Р= ~ 2 Рк> с2 =2Epfc(l -рк), - 2 (2Рк - l)Pfc(l - рк).
п к - 1 З/i к = 1
В той же книге Пуассон дал ошибочное обобщение этой теоремы на суммы произвольных независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, при условии их центрирования суммами математических ожиданий и нормирования корнем квадратным из суммы дисперсий слагаемых.
426
Гл. 3. Понятие случайной величины
Справедливости ради следует сказать, что в частном случае одинаковой распределенности слагаемых эта теорема верна, однако строгое ее доказательство пришло значительно позднее и связано с именами наших современников - Линдеберга, Феллера и Хинчина.
Заметим, что как работы Лапласа, так и работы Пуассона и всех последующих исследователей, занимавшихся центральной предельной теоремой, были непосредственно связаны с теорией ошибок измерений. И во всех работах говорилось не о сложении абстрактных случайных величин, а о сложении ошибок. По-видимому, впервые от этой традиции отошел Чебышев. ^
