Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим еще одно обстоятельство. В самом начале § 4 работы ”06 одном предложении теории вероятностей” Ляпунов определил функцию распределения точно также, как мы делаем это теперь. Он привел в этой работе широко используемую формулу
Р {а < ? < b} =F(b) — F(a).
Полезно заметить, что в трактатах по теории вероятностей А. Пуанкаре (1854 - 1912) ’’Исчисление вероятностей”, Э. Бертрана ’’Исчисление вероятностей”, Чубера ’’Теория вероятностей и математическая статистика” понятие функции распределения не вводилось (книги, изданные до 1912 г.)
Определение случайной величины, данное Пуассоном, теперь уже не может считаться математическим. Это скорее описание реального объекта изучения, обращение к интуиции, полученной в результате житейского и научного опыта. Это описание широко используется и в наши дни на начальных ступенях педагогического процесса, связанного с изложением основ теории вероятностей. Даже несложный логический
§ 15. Закон больших чисел
423
анализ этого определения показывает, что из него совсем не следует правила для действий над случайными величинами - сложения, вычитания, умножения и пр. Для того, чтобы случайная величина приобрела статус полноценного математического понятия, ей необходимо дать строго формализованное определение- Это было сделано в конце двадцатых годов А.Н. Колмогоровым в небольшой статье, посвященной аксиоматике теории вероятностей, а затем в подробностях изложено в его знаменитой книге ’’Основные понятия теории вероятностей”. Подход Колмогорова стал теперь общепринятым, поскольку он полноценно включил теорию вероятностей в общий стиль современного изложения, принятый в математике.
§ 15. Закон больших чисел
Знаменитая теорема Я. Бернулли о сближении при увеличении числа наблюдений вероятности события А с частотой его появления получила первое обобщение лишь в 1837 г. в работе С. Пуассона ’’Исследования о вероятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских”. Именно в этом мемуаре он ввел сам термин ’’закон больших чисел”.
Пуассон рассмотрел последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А, но с вероятностью рк, зависящей от номера испытания. Если через обозначить число появлений события А в п последовательных испытаниях, то при любом е > 0 имеет место соотношение: при п -*¦ °°
¦ /
’Ра + ¦
'Рп
[< 6
+0.
По поводу этой теоремы Пуассона в небольшой заметке 1843 г. Чебышев писал: ”. . . как ни остроумен способ, употребленный знаменитым геометром, он не доставляет предела погрешности, которую пускает этот приближенный анализ, и вследствие такой неизвестности величины погрешности доказательство не имеет надлежащей строгости’ЧЧебышев П.Л., Собр. соч. — АН СССР, 1947 — Т. II. — С. 14). Оценку числа п, для которого при заданных е и г) имеет место неравенство
Р, +Pi + - - - + Рп
< е } > 1 - г),
Чебышев указал в этой заметке.
Как ни интересны эти результаты, они не внесли в теорию вероятностей существенного прогресса, поскольку в идейном плане они не выходили за пределы концепции Я. Бернулли. Существенный сдвиг в этом направлении связан с работой П.Л. Чебышева ’’О средних величинах” (1867), опубликованной одновременно на русском и французском языках. В этой работе он перешел от рассмотрения случайных событий к случайным величинам и тем самым перенес центр тяжести интересов теории вероятностей к изучению случайных величин. Нужно заметить, что Чебышев не упоминал, что он интересуется только независимыми случайными величинами, а, согласно традициям того времени, считал, что других величин не рассматривают. Теорема Чебышева теперь излагается во всех учебниках теории вероятностей. Она неоднократно позднее служила источником обобщений.
В 1909 г. Э. Борель для р = 0,5 показал, что в случае схемы Бернулли имеет более сильное предложение, чем закон больших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г.
424
Гл. 3. Понятие случайной величины
это предложение на произвольное р распространил итальянский математик Кантелли, что
Это предложение получило наименование усиленного закона больших чисел.
Широкое обобщение усиленного закона больших чисел было дано А.Н. Колмогоровым в работе 1930 г., а также в 1934 г. в его монографии ’’Основные понятия теории вероятностей” (1932 г.).
Необходимые и достаточные условия для усиленного закона больших чисел были найдены в ряде работ Ю.В. Прохорова 1958 - 1959 г. (см. ”06 усиленном законе больших чисел”, Изв. АН СССР, сер. матем. 14, 6. 1958; ’’Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел”, Теория вероятностей и ее применения, т. IV, вып. 2, 215-220, 1959).
В 1935 г. А.Я. Хинчин ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, которое должно было дать максимально общую форму закона больших чисел для положительных случайных величин. Пусть (2, . . . - последовательность неотрицательных случайных величин. Про суммы Sn = ? 1 + + . . . + говорят, что они
