Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы говорили, что первоначально считалось, что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разностью. Затем постепенно от этого предположения отказались и стали представлять себе, что возможные значения, принимаемые ошибками наблюдений, заполняют целый отрезок, вероятности возможных значений определялись посредством плотности распределения. И если Д. Бернулли в отношении плотности распределения вероятностей допускал еще определенные вольности, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра с плотностью распределения было уже все в порядке. Это была .неотрицательная функция, интеграл от которой по всей прямой равен единице, а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялся интегралу от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже была известна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределения слагаемых. В знаменитой книге ’’Аналитическая теория вероятностей” Лаплас умело оперирует с плотностями распределения, ставит и решает ряд интересных задач, но нигде не вводит понятия случайной величины. Он либо использует язык теории ошибок измерений, либо язык математического анализа и не ощущает потребности в новом понятии теории вероятностей.
Первая половина XIX века принесла новые задачи, которые нуждаются в понятии случайной величины. Прежде всего - это исследования бельгийского естествоиспытателя А. Кетле (1796 — 1874), заметившего, что размеры органов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению. Изучение уклонений снаряда от цели явилось предметом исследования многих ученых; они также привели к выводу о нормальном распределении этой величины. С середины XIX века начались замечательные работы Д.К. Максвелла (1831 - 1879) и ряда других ученых по математической теории молекулярной физики газов. И здесь снова нормальное распределение завоевало почетное место.
Заслуживает внимания постановка еще одной задачи Гауссом. Он сформулировал ее 25 октября 1800 г. (именно за этот день в его дневнеке под № 113 сделана соответствующая запись). Через двенадцать лет он сформулировал ее в письме к Лапласу от 30 января 1812 г. Эта задача относится к интересному, начавшему развиваться лишь в нашем веке разделу математики - метрической теории чисел; одновременно она имеет самое непосредственное отношение к изучению равномерно распределенных случайных величин. В постановке задачи предоставим слово самому Гауссу. В упомянутом письме к Лапласу он писал; ”... я вспоминаю любопытную задачу,которой я занимался уже 12 лет назад, но для которой я не нашел тогда удовлетворяющего меня решения.
Быть может, Вы соблаговолите заняться ею несколько минут: в этом случае, я убежден, Вы найдете более полное решение. Вот она. Пусть М - неизвестная величина, заключенная между пределами 0 и 1, для которой все значения или одинаково ичроятны или же более или менее следуют данному закону: предположено, что она
422
Гл. 3; Понятие случайной величины
разложена в непрерывную дробь М = 1/ а ^ + 1/а ^ + . . . . Чему равна вероятность того, что, отбросив в разложении конечное число членов до а , следующая дробь 1 + 1/а (п+ ^ + . . . будет заключена в пределах от 0 до xi Я обозначаю ее через
Р(п, х) и предполагаю, что для Мвсе значения одинаково вероятны: Р(О, х) = х."
Гипотеза Гаусса состояла в том, что
lim Р(п, х)= ln(l + х)/1п2.
п -* “
Он писал далее, что при решении этой задачи ’’усилия, которые я делал, . . . оказались бесплодными”. Решение этой задачи появилось лишь в 1928 г., его дал P.O. Кузьмин (1891 - 1949). Через год П. Леви (1886 - 1971) дал для этой задачи чисто вероятностное решение, получив для быстроты сходимости к пределу лучшую, чем у Кузьмина, оценку. Позднее было доказано, что результат сохраняется для любой случайной величины М, для которой Р(0, х) имеет ограниченную производную. Это замечание делает более ясными неопределенные слова Гаусса о том, что для величины М ’’все значения или одинаково вероятны или же более или менее следуют данному закону”.
Заслуживает упоминания то обстоятельство, что функция Р(0, х), также как и Р (п, х), представляет собой функцию распределения.
Мы видим, что многочисленные исследования многих крупных математиков подготовили почву для введения понятия случайной величины. По-видимому, первый шаг был сделан Пуассоном в мемуаре 1832 г. ”0 вероятности средних результатов наблюдений”. Этот факт мне сообщил О.Б. Шейнин. Термина случайная величина у Пуассона еще нет, но он пишет о ’’некоторой вещи”, которая способна принять значения в,, а2, . . . , соответственно с вероятностями р,, р2, . . . , р^. Он рассмотрел
также непрерывные случайные величины и их плотности распределения.
Итак, Пуассоном был сделан важный шаг в науке - он ввел в научный обиход новое понятие - случайную величину. Его первоначальный термин ’’вещь” не привился и скоро перестал употребляться. Чебышев в своих мемуарах по теории вероятностей уже использует термин ’’величина” и автоматически считает все случайные величины, с которыми имеет дело, независимыми. В работах же Ляпунова по теории вероятностей систематически используется термин ’’случайная величина” и всюду, где это необходимо, оговаривается, что автор имеет дело с независимыми случайными величинами.
