Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 160

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 176 >> Следующая


Вторая идея касается оценки измеряемой величины по результатам х,, х2, . . . , хп измерений. В качестве оценки неизвестного значения а измеряемой величины Лаплас

предложил брать то значения а=а(х1,. . . , хп), при котором обращается в минимум

" л

сумма ? I Хк — а I. Оказывается, что а при этом равняется эмпирической медиане, к = 1

т.е. тому значению х, слева и справа от которого расположено одинаковое число наблюденных значений. Этот прием не получил в ту пору распространения, поскольку вскоре был предложен другой метод, приводящий к более простым результатам. Разработка этого нового метода связана с именами Гаусса (1777-1855), Лежандра (1752-1833) и американского математика Р. Эдрейна (1775-1843). Их работы составили в теории ошибок наблюдений настоящую эпоху. Гауссом и Лежандром был предложен и разработан метод наименьших квадратов. Гаусс предложил его второй книге большого трактата ’’Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг солнца по коническим сечениям” (1809). Лежандр же изложил свои идеи в работе ’’Новые методы для определения орбит комет” (1806), к которой было сделано специальное дополнение "О методе наименьших квадратов”. Сам Гаусс неоднократно 14*
420

Гл. 3. Понятие случайной величины

писал, что он пользовался этим методом, начиная с 1795 г. Гауссом и Эдрейном было показано, что при некоторых весьма широких условиях плотность ошибок измерений h

имеет вид ^(Д) =---- ехр(-й2Д2).

Необходимо сказать, что влияние Гаусса, Лежандра и Эдрейна на развитие науки оказалось весьма различным. Статья Эдрейна, опубликованная в мало распространенном американском журнале, прошла практически незамеченой. Работы же Гаусса и Лежандра почти мгновенно стали известны научному миру. Ученые восприняли предложенный ими метод и начали систематически использовать его в своей практической работе.

Большой вклад в дальнейшее развитие этой теории внес С. Пуассон (1781-1840). В частности, Пуассон задался вопросом: всегда ли среднее арифметическое дает лучший результат по сравнению с отдельным наблюдением? Ответ оказался отрицательным. Именно: ему удалось указать распределение, для которого этого правило оши-

1

бочно. Плотность этого распределения равна р(х) =---------, - °° < х < <*>.

я(1 + х2)

Пуассон обнаружил, что сумма двух независимых случайных величин с только что указанной плотностью распределения имеет с точностью до масштаба такое же распределение. Далее он обнаружил, что среднее арифметическое из независимых наблюдений над такой случайной величиной имеет в точности такое же распределение. Через двадцать лет (в 1853 г.) О. Коши (1789-1857) повторил эти результаты, после чего указанное распределение получило наименование распределения Коши. Пуассон же, первооткрыватель этих результатов, был забыт.

Позднее теория ошибок измерений привлекала внимание практически всех видных специалистов в области теории вероятностей. П.Л.Чебышев и А. А. Марков (1856-1922) и многие другие уделяли внимание как методу наименьших квадратов, так и другим вопросам теории ошибок. Теория ошибок оказала серьезное влияние на постановки задач и разработку методов математической статистики. Теперь теория ошибок включается в качестве естественной части в математическую статистику.

§ 14. Формирование понятия случайной величины

Мы неоднократно говорили о том, что формирование научных понятий проходит длительный и сложный путь, прежде чем войти во всеобщее употребление. Как правило, необходимое понятие еще не введено в научный обиход, а фактически им уже пользуются как при решении практических задач, так и при выводе общетеоретических закономерностей. Этот путь характерен и для случайной величины - основного понятия теории вероятностей и современного естествознания. Введение этого понятия связано с именами многих ученых, которые хотя и не использовали этого термина, но фактически исследовали отдельные его свойства.

Действительно, мы уже знаем, что,начиная с Котса, Симпсона и Д. Бернулли, в

XVIII веке начала развиваться теория ошибок наблюдений, возникшая в первую очередь под влиянием астрономии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ только что упомянутых ученых. Он же ввел в обиход термин ’’случайная” и ’’систематическая ошибка” измерения. Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдений. Первая же зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению, от измерения к измерению. Теперь мы ясно видим, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей.
§ 14. Формирование понятия случайной величины

421

Но с понятием случайной величины встречались уже Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел чи с л о появлений интересующего его события А в п независимых испытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения 0, 1, 2, . . . , п с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной - числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еще дальше — он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей. Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия - случайной величины. Первый из них оставался на уровне схемы последовательности случайных событий, остальные же ограничились той частной задачей, которая перед ними стояла. Для Муавра нормальное распределение было лишь аппроксимирующей функцией, дающей хорошее приближение к точному значению искомых вероятностей.
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed