Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
§ 13. Развитие теории ошибок наблюдений
Мы уже упоминали в первой главе о том, что Галилео Галилей заложил основы теории ошибок измерений и ввел в рассмотрение ряд важных понятий, которые сохранили значение и в наши дни.
Позднее под влиянием в первую очередь астрономических и геодезических наблюдений интерес к ошибкам измерений заметно возрос. Знаменитый астроном-наблюда-тель Тихо Браге (1546-1601) обратил внимание на то, что каждое отдельное измерение несет в себе возможную ошибку и точность измерений значительно повышается, если произвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое. Впрочем рекомендация пользоваться средним арифметическим для уточнения размеров была дана задолго до Тихо Браге. Так, согласно литературным данным, в одном древнеиндийском математическом трактате рекомендовалось при подсчете объема земляных работ делать измерения в нескольких местах и затем оперировать со средними арифметическими (см. Л. Е. Майстров ’’Развитие понятия вероятности”, с. 74).
Казалось бы от И. Кеплера (1571-1630), сделавшего так много для формирования законов движения планет, следовало ожидать повышенного внимания к методам обработки результатов наблюдений. Но эти вопросы фактически остались в стороне от его интересов и он заметил только то, что хороший наблюдатель производит измерения с ошибками ограниченной величины. В этом плане интересны его слова, относящиеся к Тихо Браге ’’благость божья дала нам в лице Тихо столь точного наблюдателя, что ошибка в восемь минут невозможна, поблагодарим бога и воспользуемся этой выгодой. Эта восемь минут, которыми пренебречь нельзя, дадут средство преобразовать всю астрономию”.
Первые попытки построить математическую теорию ошибок измерений принадлежат Р. Котсу (1682-1716), Т. Симпсону (1710-1761) и Д. Бернулли (1700-1782).
Предположения, которые были высказаны указанными авторами о закономерностях распределения ошибок измерения, были весьма различны. Коте считал, что ошибки равномерно распределены в некотором отрезке (- а, а). Симпсон исходил из предположения, что малые ошибки допускаются чаще, чем большие и также ограничены по абсолютной величине некоторым числом а. Симпсон считал, что ошибки подчинены треугольному распределению, плотность которого равна 0 в отрезках от - «° до - а и от а до + в отрезке (-а, 0) ее уравнение будет* - 2а1 у =- а и, наконец, в .отрезке (0, а) имеет уравнение х + 2а1 у =<z. Следует заметить, что как Коте, так и Симпсон не рассматривали в сущности плотности распределения, поскольку они считали, что ошибки укладываются в арифметическую прогрессию с очень малой разностью и неопределенным числом возможных значений.
Симпсон для избранного им распределения доказал, что среднее арифметическое дает лучшую точность, чем каждое отдельное измерение. Этому результату он придавал большое значение и опубликовал его в работе ”0 преимуществе выбора среднего из некоторого числа наблюдений в практической астрономии” (Philos Trans., 1755 ).
Значительный интерес представляет работа Д. Бернулли (1700-1782) ’’Наиболее вероятное определение по нескольким расходящимся между собой наблюдениям и устанавливаемое отсюда наиболее правдоподобное заключение”, опубликованная
§13. Развитие теории ошибок наблюдений
419
в 1778 г. в изданиях Петербургской Академии наук. Эта работа интересна тем, что в ней впервые был высказан и использован для оценки неизвестного параметра принцип максимального правдоподобия. Д. Бернулли начал свой мемуар с сомнений о целесообразности применения всеобще принятого принципа среднего арифметического. В качестве плотности распределения он принял функцию, определенную равенством у = \i'R2 - (х ~ х)г, в котором параметр R известен, а х должно быть определено по результатам наблюдений. Заслуживает внимания то, что Д. Бернулли не обратил внимания на следующее обстоятельство: интеграл от принятой им плотности распреде-
7Г
ления равен - R2 и, следовательно, только при одном значении R может быть плотно-
2
стъю распределения вероятностей.
К этой работе Д. Бернулли был написан комментарий Л. Эйлером (1707-1783), в котором, во-первых, критиковался метод максимального правдоподобия (конечно, тогда этого термина еще не было ив помине) и,во-вторых, предлагалось отбрасывать наблюдения, далекие от истинного значения параметра, поскольку они мало вероятны.
Следует отметить работы И. Ламберта (1728-1777), который в статьях 1760 и 1765 г. изложил цели теории ошибок измерений (кстати, ему принадлежит и сам этот термин), свойства ошибок, оценку точности наблюдений и правила подбора кривых по наблюденным точкам, содержащим случайные ошибки. Позднее появилась работа Ж. Лагранжа (1736-1813), посвященная выяснению роли среднего арифметического при оценке истинного значения измеряемой величины.
Для П. Лапласа (1749-1827) теория вероятностей была не столько математической, сколько естественно-научной дисциплиной. В связи с его занятиями астрономией, он неизбежно должен был прийти к вопросам теории ошибок наблюдений и вместе с тем заинтересоваться теорией вероятностей. Лаплас получил ряд важных результатов в теории ошибок наблюдений, которые вошли в практику обработки данных наблюдений. Мы не станем здесь вдаваться в подробности его исследований, поскольку для нас описание теории ошибок измерений не является самоцелью. Нас интересует ее связи с развитием теории вероятностей. В этом плане особый интерес представляют две идеи П. Лапласа. Первая из них вызвала к жизни значительное увеличение интереса к предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. Именно, согласно Лапласу, наблюденные ошибки измерений являются результатом суммирования очень большого числа элементарных ошибок. Если эти ошибки равномерно малы, то Лаплас предположил, что распределение их суммы должно быть близко к нормальному.
