Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 157

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 176 >> Следующая


вые вычислил и опубликовал таблицу функции Inn! для значений п от 10 до 900.

Использовав найденную им формулу ’’Стирлинга”, Муавр первоначально выяснил, что в случае р = q = 0,5 средний член бинома (1/2 + 1/2) п асимптотически равен \j\j2n-npq, а затем доказал локальную теорему, носящую теперь его имя (’’Доктрина шансов”, с. 243-244) . То, что Муавр начал со случая р = q = 0,5 вполне естественно, поскольку именно этот случай играет значительную роль в простейших задачах демографии. Далее Муавр получил локальную теорему для р Ф 0,5 фактически в принятом теперь виде.

Имея в руках локальную теорему, Муавр без затруднений сформулировал и интегральную теорему, правда, только для симметричных границ. Впрочем, интегральная теорема, доказанная для симметричных границ, без труда распространяется и на общий случай. Он оценил важность выражения \'про для теории и предложил для него специальное наименование - модуль.

Использовав метод приближенного интегрирования !1ьютона - Котса. Муавр вычислил для случая р = q = 0,5 вероятность

Согласно его подсчетам, она оказалась равной 0,95428. Теперь, используя таблицы, несложно проверить его расчеты и убедиться в том, что допущенная им ошибка невелика, только в четвертой значащей цифре (табличное значение равно 0,95450). Точно так же он подсчитал вероятность

Его результат - 0,99874. Табличное значение с таким же числом значащих цифр -

Муавр отметил, что интегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности р, т.е. для решения обратной задачи - задачи математической статистики.

§ 12. Контроль качества продукции

В связи с переходом промышленности на массовое изготовление изделий, за последние пятьдесят - шестьдесят лет резко увеличился интерес к вопросам проверки качества изделий, входящих в принимаемую партию. Появилась глубокая по содержанию и значительная по своим практическим применениям теория статистических методов приемочного контроля, основанная на широком использовании теории вероятностей.

Первым шагом, относящимся к этому кругу идей, по-видимому, следует считать одну из задач, рассмотренных Т. Симпсоном в книге ’’Природа и законы случая” (1740). Вот формулировка этой задачи: имеется данное число вешей различного сор-та-л, вещей первого п2 - второго, . . . Наудачу берутся m вещей. Найти вероятность того, что при этом будет взято mi вещей первого сорта, т2 вещей второго и т.д. В настоящее время эта задача не представляет труда для студентов, приступающих к изучению основ теории вероятностей. В ту пору она были предметом серьезного научного трактата.

0,99731.
416

Гл. 2. Период формирования основ

Спустя сто с небольшим лет, к этой задаче вновь вернулся М.В. Остроградский (1801-1862) в работе ”06 одном вопросе, касающемся вероятностей” (1846). В математическом отношении это произведение Остроградского не представляет большого интереса, но глубокое понимание самой практической задачи заслуживает нашего внимания. По-видимому, в этом отношении он имеет приоритет перед всеми исследователями. Во всяком случае Симпсон практических следствий из своих подсчетов не делал, а Остроградский вычислил и необходимые для практических применений таблицы. Приведем подлинные слова Остроградского.

”В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно, но мы не знаем, сколько из них какого цвета. Мы извлекаем некоторое количество шаров, подсчитав, сколько из них белых и сколько черных, снова кладем в сосуд. Требуется определить вероятность того, что общее число белых не выходит из наперед заданных пределов. Или, лучше сказать, мы ищем зависимость между этой вероятностью и пределами, о которых идет речь.

Чтобы понять важность этого вопроса, представим себя на месте того, кто должен получить большое число предметов, причем должны выполняться некоторые условия, и кто, чтобы проверить эти условия, должен на каждый предмет потратить некоторое время. Перед армейскими поставщиками часто стоят такого рода задачи. Для них шары, содержащиеся в сосуде, представляют получаемые предметы, белые, например -предметы приемлемые, как удовлетворяющие определенным условиям, а черные -неприемлемые.

Таким образом, если бы вопрос, который мы перед собой поставили, был решен, поставщик мог бы воспользоваться этим, чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто очень утомительную механическую работу, как, например, проверку большого количества мешков муки или штук сукна”.

Общее число шаров в урне известно, но неизвестен ее состав. Его и следует оценить по выборке, взятой из урны наудачу. Для этой цели Остроградский использует формулы Байеса. Однако его рассуждения базируются на одном предположении, которое вызывает серьезные возражения, поскольку в реальной практике не может встретиться. Именно, он предположил, что если п — общее число шаров в урне, то одинаково вероятны все гипотезы о распределении среди них белых и черных шаров, т.е. что одинаково вероятны все следующие п + 1 предположения о числе белых шарор: О,
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed