Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 156

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 176 >> Следующая


Сам Я. Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде. Мы приведем его формулировку несколько позднее. Сейчас же отметим, что и принятая им терминология отлична от современной и связана с демографией. Так, Я. Бернулли использовал для обозначения испытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова ’’плодовитый”, ’’фертильный”, а для противоположных исходов - слово ’’стерильный”. Теперь мы можем перейти к оригинальной формулировке теоремы Я. Бернулли, которую он ценил и вынашивал по его словам свыше двадцати лет.

’’Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или

г г

приближенно как— или же это число относится к числу всех случаев как----------- или же

S Г + S

г г - I г + I

как — ) . Последнее отношение находится, следовательно, между ------------- и ------- .

t t t

Нужно доказать, что можно произвести столь большое число опытов, что число поя-

*) Я. Бернулли счел излишним говорить, что t = г + s. Заметим также, что г, s и t

не фиксированы, а могут принимать любые значения, лишь бы отношение — имело

t

заданное значение. Отсюда следует, что — может быть сделано как угодно малым.
414

Гл. 2. Период формирования основ

г - 1

вившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше, чем

, и

/

г + 1

меньше, чем

/

Ясно, что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь.

Мы уже говорили, что книга ’’Искусство предположений” Я. Бернулли была широко известна многим математикам задолго до ее публикации. В частности, она была тщательно изучена его племянником Н. Бернулли, который в 1709 г. защитил диссертацию для получения ученой степени лиценциата прав под названием ”0 применении искусства предположений в вопросах прав”. Во второй главе ”0 способе установления вероятности человеческой жизни”, исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста. Нам сейчас интересно отметить, что он отметил факт, подмеченный из изучения долголетних регистраций рождений, что мальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождения девочек оказывается, как он считал, равным 18 : 17. Подробное изучение содержания этой главы показывает, что Н. Бернулли принимал вероятность рождения мальчика равной рм = 18 : 35 «0,514 и соответственно вероятность рождения девочки равной рд = 17:35 = 0,486.

Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется 14000 рождений. Тогда, согласно формулам Я. Бернулли, имеет место равенство (д означает фактическое число рождений мальчиков)

Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяет вычислять вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести, сложны.

Интересно, что в точности этот пример рассмотрен Лапласом в ’’Аналитической теории вероятностей” (1-е изд., с. 281). В качестве искомого значения вероятности неравенства 7037 < м < 7363 Лаплас указал величину 0,994303.

В двух последних изданиях книги Муавра ’’Доктрина шансов” был помещен перевод его статьи 1733 г. ’’Approximation ad summum termmonum Binomii (a + b)n in serien-expansis”. Согласно словам самого автора ”Я помещаю здесь перевод моей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, но никогда не публиковавшейся” (’’Доктрина шансов”, 1756, с. 242). В кратком введении Муавр отметил, что для. решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчиты-

вать суммы ? Рп(т) членов биномиального распределения и что вычисления стано-

вятся громоздкими при больших значениях числа испытаний п. В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы. Эта задача им была благополучно решена. Основная трудность, которая при этом возникла, состояла в оценке факториала т ! при больших значениях т. Муавру удалось доказать, что имеет место асимптотическое равенство т\ = Bsjm е~т тт, где В - постоянное. При этом оказалось, что

\пВ = 1 - 1/12+ 1/360 - 1/1260+ 1/1680

Муавр нашел, что приблизительно В » 2,5074, однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику. Он обратился со своей проблемой к Д. Стирлингу (1692-1770). Стирлинг с успехом разрешил воп-

Р {I М - 7200 1 < 163} =Р {7037 < м <7363} = С

i-7038

j I4000—/

к

т -1
§12. Контроль качества продукции

415

рос и показал, что В = \/2тт » 2,506628. . . В связи со сказанным хотелось бы отметить, что известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел следовало бы называть точнее формулой Муавра н. самое меньшее - формулой Муавра - Стирлинга. Заметим дополнительно, что впер-
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed