Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же теорема умножения вероятностей длительный период формировалась на рассмотрении частных примеров и на подсчете числа шансов, благоприятствующих наступлению произведения двух или нескольких событий. Такого рода подсчеты встречаются практически у всех предшественников Я. Бернулли. Я. Бернулли широко использует эти правила при выводе своих знаменитых формул. Широко использовал правила сложения и умножения вероятностей Монмор. Однако формулировки теоремы умножения ни у кого из них не встречается. Четкое выделение теоремы умножения было осуществлено лишь Муавром. Во введении к ’’доктрине шансов” в § 8 он определил важное понятие независимости случайных событий. А именно, он формулирует следующее положение: "Мы скажем, что два события независимы, когда каждое из них не имеет никакого отношения к другому, а появление одного из них не оказывает никакого влияния на появление другого." Еще более определенно им дано определение зависимых событий. А именно, "два события зависимы, когда они связаны друг с другом и когда вероятность появления одного из них изменяется при появлении другого”.
Эти определения Муавр снабдил простеньким примером. Пусть имеются две кучки карт одной масти, в каждой кучке от двойки до туза. Тогда вероятность того, что иэ каждой кучки наудачу удается вынуть по туэу будет равна 1/13 • 1/13 = 1/169. Мы имеем дело с двумя независимыми событиями. Если же мы вынимаем две карты из одной кучки и спрашиваем о вероятности того, что при первом вынимании извлечем туз, а при втором - двойку, то здесь вероятность первого события равна 1/13, а второго 1/12. Таким образом вероятность интересующего нас события равна уже 1/13 • 1/12 = 1/156.
Нам особенно важно привести сейчас следующую формулировку Муавра: ”. . . вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из них на вероятность того, что другое должно появиться, если
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей
411
первое из них уже появилось. Это правило может быть обобщено на случай нескольких событий”.
Мы видим, таким образом, что формулировку теоремы умножения вероятностей и введение понятия условной вероятности удалось осуществить только Муавру. Это им было сделано уже в 1718 г. в первом издании его ’’Доктрины шансов”.
О вероятности совместного наступления нескольких событий Муавр писал следующее: ”. . . надо обозначить одно из них как первое, другое как второе и т.д. Тогда вероятность появления первого должна рассматриваться как независимая от остальных; вторая - в предположении, что первое произошло, третье - в предположении наступления первого и второго и т.д. Следовательно, вероятность наступления всех событий равна произведению всех только что указанных вероятностей”. Далее Муавр отметил, что разыскание условных вероятностей, как правило, представляет собой сложное занятие.
Общее положение Муавр продемонстрировал на решении ряда задач. Вот одна из них. Пусть события А, В и С независимы в совокупности и х, у, z означают вероятности их наступления. Тогда xyz есть вероятность наступления всех трех событий, а 1-
— (1 - л:) • (1 - у) • (1 - z) - вероятность наступления хотя бы одного из событий А,
В, С.
В упомянутой ранее работе Байеса содержится формулировка теоремы умножения вероятностей (предложение 3) : ’’Вероятность того, что наступят оба взаимосвязанные события, есть соотношение, получающееся от перемножения вероятности первого события на вероятность наступления второго в предположении, что первое наступило”. Мы уже видели, что это предложение было четко сформулировано Муавром и, поскольку произведение Муавра было широко известно, Байес, несомненно, заимствовал его у своего знаменитого предшественника. Единственно, в чем Байес пошел дальше Муавра — это в формулировке следствия о вычислении вероятности Р {В\А} по вероятностям Р{ав} и рШ . Это предложение дало основание приписывать Байесу формулы, носящие его имя. В действительности у него их нет, поскольку он не знал формулы полной вероятности.
Результат, приписываемый Байесу, по-видимому, впервые получил современную формулировку у Лапласа в его ’’Опыте философии теории вероятностей”. В главе ’’Общие принципы теории вероятностей” он сформулировал принцип VI, который относится к вероятности гипотез или, как писал Лаплас, вероятности причин. Пусть некоторое событие А может произойти с одним из п несовместимых событий В1, В2, . . . , Вп и только с ними; эти события Лаплас называет причинами. Спрашивается, если известно, что событие наступило, чему равна вероятность того, что осуществилась и причина В,? Вот формулировка ответа, данного Лапласом: ’’вероятность существования какого-либо из этих причин равна, следовательно, дроби, числитель которой есть вероятность события, вытекающая Из этой причины, а знаменатель есть сумма подобных вероятностей, относящихся ко всем причинам: если эти различные причины, рассматриваемые a priori, не одинаково вероятны, то вместо вероятности события, вытекающей из каждой причины, следует взять произведение этой вероятности на вероятность самой причины”. Легко понять, что Лаплас словесно сформулировал известное "правило Байеса”
