Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей
Мы обратимся теперь к следующему естественному вопросу: когда и кто выделил в теории вероятностей основные ее теоремы — сложения и умножения и полной вероятности? В конечном счете на этих простых результатах покоится вся теория вероятностей и ее многочисленные применения. Именно поэтому представляет интерес выяснение процесса их формирования. В книге Л.Е. Майстрова ’’Теория вероятностей”, исторический очерк, 1967 (с. 65) утверждается, что в XVII веке уже ’’были известны теоремы сложения и умножения вероятностей, которые широко применялись при решении задач”. Однако, нам не удалось заметить ни в переписке Ферма с Паскалем, ни в трактате Гюйгенса ни формулировки, этих теорем, ни мало-мальски осознанного их использования. Однако зачатки этих теорем можно проследить буквально с первых шагов теории вероятностей как математической науки.
Так в работах Паскаля можно усмотреть, что он отчетливо понимал как следует подсчитывать число благоприятствующих шансов для события А, если нам известны шансы для несовместимых событий Aj, составляющих событие А. Это, конечно, еще не теорема сложения, но важный шаг на пути ее формулировки. При решении задачи
о разделе ставки Паскаль рассуждал следующим образом: пусть игроку А для выигрыша игры недостает трех партий, а игроку В - четырех. Тогда для завершения игры достаточно шести партий. Игрок А выигрывает, если из этих шести партий он выиграет все шесть, пять или четыре, или три партии. Таким образом, число благоприятствующих шансов для выигрыша А игры оказывается равным
С + С‘ + С,г + С63 = 1 + 6 + 15 + 20 = 42.
Это рассуждение Паскаль предложил и в общем случае, когда для окончания игры игроку А недостает т партий, а игроку В - п партий.
В работах Я. Бернулли и Н. Бернулли дается отчетливая формулировка правила вычисления вероятности противоположного события, если известна вероятность прямого события.
При выводе формул, получивших наименование формул Бернулли, Я. Бернулли сознательно использовал правила сложения и умножения вероятностей, но самих правил он не сформулировал. Они в его рассуждениях присутствуют как бы неявно.
Одно замечание Я. Бернулли показывает, что он отчетливо понимал особенности теоремы сложения для совместимых событий. Вот это замечание: ’’Если два человека, достойные смертной казни, принуждаются бросить кости при условии, что тот, кто выбросит меньшее число очков, понесет свое наказание, а другой, который выбросит большее число очков, сохранит свою жизнь, и что оба они сохранят жизнь, если выбросят одинаковое число очков, то мы найдем для ожидания одного 7/12 ... Но из этого нельзя заключить, что ожидание другого равно 5/12 жизни, так как очевидно, что обе участи одинаковы. Другой также будет ожидать 7/12, что дает для обоих 7/6 жизни, т.е. больше целой жизни. Причиной этого является то, что нет ни одного случая, в котором хотя бы один не останется живым, а имеется несколько случаев, когда они оба могут остаться в живых.” Нет нужды добавлять к словам Я. Бернулли, что он находился рядом с предложением, которое мы теперь записываем в следующем виде:
Р{А + В} =Р{Л} + P{fi} - Р{АВ}.
410
Гл. 2. Период формирования основ
Впрочем, если с современных позиций рассматривать работу Кардано "Книга об игре в кости", то в главе XIV "О соединении очков” можно в частном примере усмотреть этот же результат, но не для вероятностей, а для числа шансов. Он рассматривал число случаев выпадения при бросании двух костей хотя бы на одной кости одного очка. Это число равно 11, поскольку шестью различными способами может появиться 1 на первой кости: (1,1), (1, 2), (1,3) (1,4), (1,5), (1,6) и столькими же на второй. Но случай (1, 1) при этом мы указываем дважды. Так что различных случаев будет не 12, а лишь 11.
Однако, как ни важны приведенные наблюдения, мы не должны приписывать ни Кардано, ни Паскалю и Ферма, ни Я. Бернулли формулировку теоремы сложения вероятностей, как важнейшего положения теории вероятностей.
Первая четкая и окончательная формулировка теоремы сложения вероятностей находится в работе Т. Байеса (1702-1761), носящей длинное название — "Опыт решения задач по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса, члена Королевского общества. Сообщено мистером Прайсом в письме Джону Кентону, магистру искусств, члену королевского общества”. Работа Байеса была зачитана на заседании Лондонского королевского общества 27 декабря 1763 г., спустя два года после смерти автора. В определении 1 работы содержится определение несовместимых событий. Байес употребляет другой термин "неплотные события” (inconsistent).Согласно Байесу, ’’несколько событий являются неплотными, если наступление одного из них исключает наступление других”. Формулировка же теоремы сложения дается Байесом в предложении 1, которое состоит в следующем: ’’Если несколько событий являются неплотными, то вероятность того, что наступит какое-то из них, равно сумме вероятностей каждого из них”. В этом предложении мы видим четкую формулировку теоремы сложения вероятностей во вполне современной форме.
