Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 152

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 176 >> Следующая


Сильвестр первым после Бюффона расширил тематику задач на геометрические вероятности. Им была предложена задача о четырех точках или задача Сильвестра. Ее формулировка такова: четыре точки взяты наудачу внутри выпуклой области. Чему равна вероятность того, что, взяв эти точки в качестве вершин, можно составить выпуклый четырехугольник?

Сильвестр предложил следующее решение: обозначим через А площадь выпуклой области. Бросим в нашу область сначала три точки и построим по этим точкам треугольник. Пусть его средняя площадь равна М. Бросим теперь наудачу четвертую точку. Если она попадет внутрь треугольника, то по этим четырем точкам выпуклого четырехугольника составить нельзя. Но четвертую точку мы можем выбирать четырьмя различными способами, следовательно, при бросании четырех точек вероятность получить невыпуклый четырехугольник равна р = 4М/А. Отсюда заключаем, что вероятность получения при этом выпуклого четырехугольника равна 1 — 4М/А. Среднее значение М зависит от области, в которую бросают точки. Для некоторых выпуклых фигур значение М вычислено. М. Крофтон в статье "Вероятность”, опубликованной в Британской энциклопедии (9-е издание, т. 19, стр. 786. Эдинбург, 1885).
408

Гл. 2. Период формирования основ

привел таблицу, сославшись на работу Вольхауза, из которой легко получить значения М для соответствующих выпуклых областей.

Таблица 22

вероятность треугольник параллелограмм правильный окружность
6-угольник
Р 1/3 = 0,3333... 11/36 = 0,3056 289/972 * 35/(12я2) =
* 0,2971 = 0,2955
Сильвестр отчетливо понимал, что при вычислении геометрических вероятностей приходится брать отношение площадей или объемов (общее мер) тех областей, которые благоприятствуют событию и в которых помещаются всевозможные события. Фактически так поступали и раньше. Но при этом произносили другие слова, которые или не имели определенного смысла или же не соответствовали производимым действиям. Сравнив результаты вычислений для различных областей, Сильвестр предложил найти те области, для которых вероятность получения выпуклого четырехугольника достигает максимума и минимума. Первые результаты принадлежат Крофтону и опубликованы в ранее указанной статье. Он доказал, что минимум достигается для круга. Там же он высказал предположение, что минимум достигается и для эллипса. Это предложение было доказано лишь В. Блашке (Vorlesungen uber differential Geometrie - Berlin, 1923). Дельтейль показал, что максимальная вероятность формирования выпуклого четырехугольника достигается для треугольной области.

В учебной литературе широко известна задача о встрече. Спрашивается, когда она появилась и кто был ее автором? При изучении многочисленной литературы моей ученице М.Т. Лориньо Перес удалось найти ответ на этот вопрос. В книге Уайтворта "Выбор и шанс” (Choice and chance - London, 1886, chap III, p. 242-243) была рассмотрена следующая задача. Лица А и В независимо один от другого отправляются на прием в парке. Лицо А прибывает на прием в наудачу выбранный момент между 3 и 5 часами пополудни, а В - между 4 и 7 часами пополудни. Каждый из них остается на приеме в течение часа. Чему равна вероятность того, что они окажутся на приеме одновременно хотя бы одно мгновение?

Задача была решена Уайтвортом обычным путем, какой используется и в настоящее время. Легко подсчитать, что искомая вероятность равна 1/3. Позднее эта задача перекочевывала из книги в книгу в качестве иллюстративного примера, а также находила применения в задачах организации производства.

Несомненно, что в XIX веке на развитие проблематики геометрических вероятностей особое влияние оказал Крофгон. Он начал изучать пересечение случайными прямыми заданных выпуклых контуров. Мы не станем излагать его результаты, поскольку они вошли в курсы интегральной геометрии и монографии по геометрическим вероятностям, а потому легко доступны.

На необходимость совершенствования понятия геометрической вероятности несомненное влияние оказала книга Ж. Бертрана (1822-1900) (Calcul de probabilite'. - Paris, 1899), в которой на хорошо подобранных примерах было показано, что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики. Играя на неопределенности терминологии, казалось бы для одной и той же задачи, ему удалось получить несколько различных ответов. В качестве основной мишени им была избрана известная задача о проведении наудачу хорды внутри круга. Само собой разумеется, что критика Бертрана привлекла внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей.
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей

409

В XX веке интерес к геометрическим вероятностям не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели и серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и др. Этот аспект геометрических вероятностей заслуживает специального рассмотрения.
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed