Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Цель, которую ставил перед собой Бюффон. состояла в том. чтобы показать, что "геометрия может быть использована в качестве аналитического инструмента в области теории вероятностей”, в то время как до тех пор "геометрия казалось мало пригодной для этих целей", поскольку для них использовалась только арифметика.
Игра франк-карро состоит в следующем: пол разграфлен на одинаковые фигуры. На пол бросается монета, ее диаметр 2г меньше каждой из сторон и монета целиком укладывается внутрь фигуры. Чему равна вероятность того, что брошенная научачу монета пересечет одну или две стороны фигуры'.’
Для определенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольниками со сторонами а и b, Ь > 2г, а > 2г. Легко подсчитать, что площадь полосы между основным прямоугольником со сторонами, параллельными сторонам основного на расстоянии г от каждой из его сторон и целиком расположенного внутри основного, равна 2 r(a + Ь - 2г ). Легко понять, что центр монеты, попав внутрь малого прямоугольника. не только не пересечет, но даже не коснется сторон основного. Значит, вероятность того, что монета пересечет по меньшей море одну из сторон основного нрямоугольни-а + Ъ - 2г
ка равна 2г---------- .
ab
Вторая задача, сформулированная и решенная Бюффоном. состой! в следующем: плоскость разграфлена равноотстоящими параллельными прямыми. На плоскость наудачу бросается шла. Один игрок утверждает. что игла пересечет одну из параллельных прямых, другой что не пересечет. Определив вероятность выигрыша каждого из игроков. Решение этой задачи хорошо известно, и нет необходимости приводить его здесь. Менее известна задача Бюффона об игре, когда шла бросается на плоскость, разграфленную на квадра'ы. В решении .мой задачи Бюффон допустил ошибку, позднее исправленную Лапласом. Именно. Бюффон считал, что искомая вс-а - г 2а - г
роятность равна 2г------- —. тогда как в дсйствиюльности она pjiiii- 4г------------
rnz 7га-
После Бюффона задачи на геометрические вероятности сгали систематически включаться в трактаты и учебники по теории вероятностей. Так. и знаменитую кш1.: у Лапласа "Аналитическая теория вероятностей" были включены и подробно рассмотрены все задачи Бюффона. Но Лаплас не счел нужным отметить, откуда они были заимствованы и кто автор этих задач.
Следует отметить, что терминология Лапласа далека от совершенства. Гак, для примера, он писал, чтр "8г равняется сумме всех случаев, в которых игла пересекает одну или другую параллельные линии" и что 2а-п равно "числу всех возможных комби-
§ 8. Понятие геометрической вероятности
407
наций”. Здесь 2г означает длину иглы, а а - расстояние между параллельными прямыми.
Во второй задаче, рассмотренной Лапласом, плоскость разграфлена двумя системами параллельных прямых, представляющих ничто иное как систему координатных линий на плоскости. Расстояние между линиями первой системы равно а, второй системы — Ь. На плоскость бросается игла длины 1г (2г < а, 2г < Ь). Чему равна вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну линию? Решение, предложенное Лапласом, предполагает, что дело идет о .«етемах взаимно перпендикулярных прямых. Это Лапласом не оговорено. В ре;!> льгате вычисления — числа благоприятствующих и '’числа всех возможных случаев' - Лаплас определил, что вероятность
а + b - г
пересечения одной из линий орошенной иглой равна 4г---------.
¦nab
В прекрасном для своего времени учебнике ’’Основания математической теории вероятностей” (1846) В.Я. Буняковского (1804-1889) имеется довольно большой раздел, посвященный геометрической вероятности. В него включена задача Бюффона
о бросании иглы и частный случай игры франк-карро, когда плоскость разбита на равнобедренные треугольники. С современных позиций терминология Буняковского далека от ’ совершенства. Пример такого словоупотребления мы сейчас и приведем: ’’...иногда встречаются такие ситуации", в которых число благоприятствующих ста-точностей, а равно и всех возможных бывает бесконечное. Искомая вероятность определится тогда отношением этих двух бесконечных чисел Она будет ’’числом
конечным и совершенно определенным”.
Серьезный шаг в развитии геометрических вероятностей связан с именами Ламе (1795 -1870), Барбье. Д. Сильвестра (1814-1897), М. Крофтона, которые не только поставили новые задачи, но и привлекли к их решению понятие меры множества (пусть еще п на интуитивном уровне). На базе их рассмотрений позднее возникла новая ветвь геометрии, получившая наименование интегральной геометрии.
В 1860 г Ламе на факультете наук Парижской нормальной школы прочитал курс лекций по геометрии. В этом курсе он рассмотрел задачу Бюффона о бросании иглы и применил ее к тому случаю, когда центр иглы бросается наудачу в центр эллипса или правильного многоугольника. Среди слушателей был Барбье, обобщивший рассуждения Ламе на случай любого выпуклого контура. В сущности Барбье не внес ничего нового в сам метод. Он только заметил, что рассуждения Ламе не связаны жестко ни с рассмотрением эллипса, ни с правильными многоугольниками, а легко обобщаются на любой выпуклый контур.
