Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
при любых значениях вв2,. . , вк остается неизменной, равной некоторому числу со. В этом случае также
Р{0'< 0< 0"}=со,
т.е. безусловная вероятность (1) не зависит от априорного безусловного распределения параметров 0(,02, ¦ • ¦ ,0к-
Сама гипотеза о существовании априорного распределения параметров не всегда осмысленна. В самом деле, как можно говорить о распределении параметра а в законе Пуассона для любой задачи, в которой характеризующая эту задачу случайная величина распределена по закону Пуассона? Од-
§63. Доверительные границы
371
нако, если условная вероятность (2) не зависит от значений параметров и равна одному и тому же значению to, то естественно считать безусловную вероятность (1) существующей и равной to даже в тех случаях, когда существование априорного распределения параметров не предполагается.
Условимся говорить, что предлагаемое правило имеет доверительную вероятность to, если при всех возможных значениях параметров условная вероятность (2) равна to.
Обратимся теперь к рассмотренным в § 60 задачам.
В случае первой из рассмотренных там задач положим
, _ , Z1 » _ . Z2 а =х + _¦ а; а =х + —— о.
\Jn Vп
Каковы бы ни были значения параметров а и а, мы имеем, очевидно:
{ 2 2 О г1<7
Р{д < а< а \а, о }= Р\я----------------------< х < а--------------------
I у/гГ у/Г
1 ~Z) 2 1 Z* 2
/ e-f l2dt= —-------- / e-e^dt.
\j2-n
Отсюда мы заключаем, что доверительная вероятность правила ____ Zj(7 _ Z2O
х + ------- < а < х + •
\ЛГ
равна
1 Zj 2
—----- / e-f l2dt.
В частности, имеем, следовательно, равенство
р(|д -Зс|< ——— ст]=---------- /e~f l2dt.
{ \Jп > у/2п 0
Во второй задаче мы считаем известным параметр а, тогда как параметр а подлежит оценке. Положим
а’ = J\fn / /,, а" = У Vп / t2 , где
Г
372 Гл. 11. Элементы статистики
Легко видеть, что
Р{а’< а < о" | а, о) = Р{ot2/ \ЛГ < s < 11о/ \f п \ а, о).
В § 21 (распределение х2) мы нашли плотность распределения величины s при условии, что а и а заданы. Именно
____ _ у2 п
у/2п /уу/п\п~1
*(у\а, а) = - ; -----) е
аГ(и/2) \ 0yJ2 /
Отсюда мы находим, что
. / _ у2 л
Р{а' < а < а" | а, а}= ——--------- f ( —=) е йУ =
оГ(л/2) ' а\/2 /
стг2/ V "
— / zn~1e~z* l2dz.
п-2
2 2 Г(и/2)
Мы видим, что условная вероятность неравенств
о < а < а
при условии, что параметры д и а известны, не зависит от значений этих параметров. Следовательно, по предыдущему, доверительна** вероятность правила
1 / " „ 1 / "
— V 2 (хк - а)2 < а < — V 2 (*fc - a)2
^ 1 fc = 1 ^2 /с = 1
равна
со
л-2
2 2 Г(и/2)
/ zn-1e~z'l2dz.
§ 63. Доверительные границы 373
Перейдем, наконец, к рассмотрению последней задачи, когда оба параметра аист неизвестны. Положим
а,' = х + сi yfns 1 и а" = х + с2 \f~nsi,
а\ = у/wxi /ti, а" = у/nsi/12, где
,.угт
(Xjt - X )2.
п к = 1
При условии, что а и о заданы, мы имеем:
!а — х
Ci < ----— ^ с2\а, о
s^y/n
( Si yfn
P{ctJ < а < о2\а, а} = Pj f2 < —~----------------< fi I а, °
а - х
Нам нужно найти теперь условные плотности распределения для -------------------- и
г- siyfn
Si фг
при условии, что аист известны. Так как
1 "
- 2 (х* - а)
х-а к~1
?i yj~n / п / п
2 [Ok -а)-(х -а)]2 V 2 (х*_х )2 к = 1 k = 1
п
где хк = хк — а их1 = - 2 хк (величины х? независимы и распределены и к = 1
нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией ст2).
Введем теперь в л-мерном пространстве (х[, х'2 , ..., х'п) новую ортогональную систему координат (уь у.2, ..., _у„) так, чтобы уt = yfn х/.