Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 9. Для того чтобы функции распределения сумм (1) при п ~+°° сходились к данной функции распределения Ф(х) и дисперсии сумм сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы при п выполнялись следующие условия:
1) 2 / x2dFnk(x)-+G(u)
к- X —ОО
в точках непрерывности функции G{u) к п ^
2) 2 fx2dF„k(x)-+G(°°), к = 1
кп
3) 2 fxdFnk(x)-+ 7, к = 1
где функции G(u) и постоянное у определяются формулой (1) § 43 для функции Ф(х) •
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона
Мы применим результаты предыдущего параграфа к выводу условий сходимости функций распределения сумм к законам нормальному и Пуассона.
Теорема 10. Пусть дана элементарная система независимых случайных величин. Для того чтобы функции распределения сумм
= inl+in2 + ¦ ¦ +inkn (1)
при п сходились к закону
1 * ,
Ф(л:) = ------ / е~х l2dx,
у/Ът
§ 47. Сходимость к законам Гаусса и Пуассона 281
необходимо и достаточно, чтобы при п ->¦ 00 были выполнены условия
кп
1) 2 JxdFnk(x) -> О, fc = i
2) 2 / x2dFnk(x)^ О,
fc = l | x 1 > т
—
3) 2 / x2 dFnk(x) -+ 1.
/с = 1 I JC | < T
где r - любая положительная постоянная.
Доказательство. Из теоремы 9 следует, что искомые условия состоят в выполнении при п^-°° соотношений
кп
2 fxdFnk(x)^ О, к = 1
кп и _ t0 для и < О,
2 / x2dFnk(x)->
к = 1 П для и > О,
fc,, _
2 Jx2dFnk(x)->- 1. fc = i
Первое из них совпадает с первым условием теоремы, равносильность двух остальных второму и третьему условиям теоремы очевидна.
Особенно простую форму эта теорема принимает, если элементарная система, рассматриваемая нами, нормирована заранее условиями
^п
2 fx2dFnk(x)= 1, к = 1
fxdFnk(x) = 0 (1< к< кп- «=1,2,...). (2)
Теорема 11. Если элементарная система нормирована соотношениями (2), то для сходимости функций распределения сумм (1) к нормальному закону необходимо и достаточно, чтобы для всех т > 0 при п
^п
2 / x2dFnk(x)^ 0. (3)
fc = l \х\>т
Доказательство теоремы очевидно.
Требование (3) носит название условия Линдеберга, так как им в 1923 г. была доказана его достаточность для сходимости функций распределения сумм к нормальному закону. В 1935 г. В. Феллером была доказана необходимость этого условия.
282
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
В качестве другого примера использования обидах теорем предыдущего параграфа мы рассмотрим сходимость функций распределения элементарных систем к закону Пуассона
Р(х) =
_Х*
к\
для х < О, для х > 0.
(4)
Если % — случайная величина, распределенная по закону (4),то,как мы знаем М? = D? = Л.
Мы ограничимся элементарными системами, для которых к„
-+Х.
к = 1 к
z Dfn
к = 1
(5)
Теорема 12. Пусть дана элементарная система, подчиненная условиям (5). Функции распределения сумм
$п=%\ +^П2 +¦¦- + ^пкп тогда и только тогда сходятся к закону (4), когда при любом т > 0
Z / x2dFnk(x + Щпк)^0 (и->«>).
* = 1 |х — 11 >т
Доказательство этой теоремы мы предоставляем читателю.
В § 13 нами была доказана теорема Пуассона. Легко убедиться, что при пр„ = X она является частным случаем только что доказанного предложения. Действительно, пусть %пк (1 < к < п) есть случайная величина, принимающая значения 0 или 1 в зависимости от того, появится или не появится при к-м испытании п-й серии наблюдаемое нами событие А. При этом
Р«„*= »=- и = =
п п
Очевидно, что сумма
I %п2 ^ ^ %пп
представляет собой число появлений события А в и-й серии испытаний.
Согласно теореме Пуассона функции распределения величин fi „ при п -><*> сходятся к закону Пуассона (4). Этот результат следует и из только что сформулированной теоремы, так как все ее требования в данном случае выполнены.
§ 48. Суммирование в случайном числе
283
Общие теоремы о сближении функций распределения сумм (1) с некоторыми безгранично-делимыми функциями распределения, доказанные в более широких, чем у нас, предположениях, позволяют также получить необходимое и достаточное условие для закона больших чисел (в случае независимых слагаемых). См. об этом уже упоминавшуюся монографию Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова.
§ 48. Суммирование независимых случайных величин
в случайном числе
В разнообразных задачах практики приходится сталкиваться с задачей суммирования случайных величин не в заранее заданном, а в случайном числе. Приведем примеры.
