Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 9

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 53 >> Следующая


Так, в нашем примере мы предполагаем, конечно, что изготовление лампочки производится при некоторых определенных условиях, одних и тех же для всех выпускаемых в продажу лампочек. Это предположение настолько неизбежно и самоочевидно, что мы в формулировке задачи о нем даже не нашли нужным упомянуть. Если на данную лампочку мы не налагаем никаких дополнительных условий, то вероятность того или другого результата испытания лампочки мы называем безусловной. Если же сверх этих условий мы налагаем еще какие-либо дополнительные требования, то вычисляемые при этих требованиях вероятности будут уже условными.

Пример 1. В задаче, описанной нами в начале настоящего параграфа, вероятность выпуска лампочки вторым заводом, очевидно, равна 0,3. Установлено, что лампочка стандартного качества. Какова после этого наблюдения вероятность того, что эта лампочка изготовлена на втором заводе?

Из каждых 1000 выпущенных в продажу лампочек в среднем 770 лампочек имеют стандартное качество, причем из них 581 лампочка первого завода и 189 лампочек второго завода*). После сделанного наблюдения вероятность выпуска лампочки вторым заводом составляет поэтому

189 п пхс

770 ~°,245'

*) Это легко подсчитать следующим способом. Из каждых 1000 Лампочек 700 в среднем изготовлены первым заводом, а из каждых 100 лампочек первого завода в среднем 83 имеют стандартное качество.. Следовательно, из 700 лампочек первого завода стандартное качество будут иметь в среднем 7-83 = 581. Остальные 189 лампочек стандартного качества изготовлены вторым заводом.
28 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. Э

Это — условная вероятность выпуска лампочки вторым заводом, вычисленная в предположении, что данная лампочка стандартна. В наших прежних обозначениях мы можем напнсать

Р(В) = 0,3; РА(В)~ 0,245

(событие В обозначает ненаступление события В).

Пример 2. Производившиеся в некотором районе многолетние наблюдения показали, что из 100 000 детей, достигших десятилетнего возраста, до 40 лет доживает в среднем 82 277, а до 70 лет — 37 977. Найти вероятность того, что если человек достигнет сорокалетнего возраста, то он доживет и до 70 лет.

Так как из 82 277 сорокалетних до 70 лет доживает в среднем 37 977, то вероятность сорокалетнему дожить до семидесяти лет равна 37 977

82 277 ~ ’

Если через А и В обзначить события, состоящие: первое — в доживании десятилетнего ребенка до 70 лет, а второе—.в достижении им 40-летнего возраста, то, очевидно, мы имеем

Р (Л) = 0,37 977 ~ 0,38; Рв (А) ~ 0,46.

§ 8. Вывод правила умножения вероятностей

Вернемся к первому примеру предыдущего параграфа. Из каждой 1000 продаваемых лампочек вторым Заводом изготовляется в среднем 300 лампочек, а из этих 300 стандартными оказываются в среднем 189. Отсюда мы получаем, что вероятность изготовления лампочки вторым заводом (событие В) равна

Р<в>-ШГ = °А

а вероятность ее стандартного качества при условии, что она изготовлена вторым заводом, равна

189
§ 8! ВЫВОД ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 29

Так как из каждой 1000 лампочек 189 изготовлены вторым заводом и в то же время имеют стандартное качество, то вероятность совместного наступления событий А и В равна

п / л » f}\ 189 330 189 r-v / п / л\

Р (Л и В) = 1000 = 1000 • -300 ~ ^ р-в И)-

Это «правило умножения» легко распространить и на общий случай. Пусть в каждой серии из п операций результат В наступает в среднем т раз, а в каждой

серии из т таких операций, где результат В наблю-

дался, I раз наступает результат А. Тогда в каждой серии из п операций совместное наступление событий В и А будет наблюдаться в среднем I раз. Таким образом,

P(B) = i Ро(А)-~,

Р(Л и В)-i-=^.i_P(B)P„(/l). (I)

Правило умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоялось.

Разумеется, мы можем называть первым любое из двух данных событий, так что на равных основаниях с формулой (1) можем писать и

Р (Л и В) = Р(А)РЛ(В), (Г)

откуда получаем важное соотношение

Р (Л) Рл (В) — Р (В) Рв (Л). (2)

В нашем примере было

рм.*)-*, pmj-w-

формула (1') подтверждается.

Пример. На некотором предприятии 96% изделий признается пригодными (событие Л); из каждой сотни годных изделий в среднем 75 оказываются первого сорта (событие В) Найти вероятность того, что
30 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 3

изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Ищется Р (Л и В), так как, для того чтобы изделие было первосортным, надо, чтобы оно было пригодным (событие Л) и первого сорта (событие В).
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed