Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Можно получить тот же результат и из правила сложения: так как противоположные события несовместимы между собою, то
Р (Л,) + Р (Л,) = Р (Л, либо Л2);
но событие (ЛI либо Л2) есть событие достоверное, так как из определения противоположных событий следует, что оно наверняка должно наступить; поэтому вероятность его равна единице, и мы снова получаем
Р(Л1) + Р(Л,) = 1.
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.
Это правило допускает весьма важное обобщение, которое можно доказать тем же способом Пусть имеется п (любое число) событий Лj Л2, ..., Л„, таких, что в каждой единичной операции обязательно должно наступить одно и только одно из этих событий; условимся такую группу событий называть полной системой; в частности, всякая пара противоположных событии,-очевидно, образует полную систему.
Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице.
Действительно, по определению полной системы любые два из событий этой системы несовместимы между собой, так что правило сложения дает:
Р(Л,) + Р(Л2)+ ... + Р(Л„) =
= Р(Л], либо Л2, либо .... либо Л„).
ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБЫТИИ
21
11о правая часть этого равенства есть вероятность достоверного события и потому равна единице; таким образом, для полной системы
Р(Л,) + Р(Л2) + ... + Р(Л„)=1,
что и требовалось доказать.
Пример 1. Из каждых 100 выстрелов по мишени, изображенной на рис. 1 (стр. 17), стрелок дает в среднем
44 попадания в область /,
30 попаданпй » » - 2,
15 » » » 3,
6 » » » 4,
4 попадания » » 5,
1 попадание » » 6
(44 + 30 + 15 + 6 + 4 +1 = 100). Эти шесть результатов стрельбы составляют, очевидно, полную систему событий. Вероятности их соответственно равны
0,44; 0,30; 0,15; 0,06; 0,04; 0,01;
мы имеем
0,44 + 0,30 + 0,15 + 0,06 + 0,04 + 0,01 = 1.
Пули, попадающие в область 6, полностью или частично вовсе не попадают в мишень и не могут быть подсчитаны; это не мешает, однако, найти вероятность попадания в эту область, для чего достаточно вычесть из единицы сумму вероятностей попадания во все другие области.
Пример 2. Статистика показывает, что на некоторой ткацкой фабрике из каждой сотни остановок ткацкого станка, требующих последующей работы ткачихи, в среднем
22 происходят из-за обрыва нитей основы,
31 » » » » утка,
27 » » смены челнока,
3 » » поломки погонялок,
а остальные остановки из-за прочих причин.
22
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. 2
Мы видим, что кроме прочих причин для остановок станка имеются четыре определенные причины, вероятности которых соответственно равны:
0,22; 0,31; 0,27; 0,03.
Сумма этих вероятностен равна 0,83. Вместе с прочими причинами указанные причины остановок станка составляют полную систему событий; поэтому, вероятность остановки станка от прочих причин равна 1 — 0,83 = 0,17.
§ 6. Примеры
На установленной теореме о полной системе событий часто с успехом основывают так называемый «априорный», т. е. доопытный расчет вероятностей. Пусть, например, изучается попадание космических частиц на маленькую площадку прямоугольной формы (рис. 2), которая разбита на шесть равных между собой квадратов, занумерованных на рисунке. Интересующие нас площадки находятся в одинаковых условиях, и поэтому нет никаких оснований предполагать, что на какой-нибудь из этих шести квадратов частицы будут попадать чаще, чем на другой. Допустим поэтому, что в каждый из шести квадратов частицы будут в среднем попадать одинаково часто, т. е. что вероятности ри р2, рз. pi, Ps. Р& попадания частиц в эти квадраты равны между собой. Если предположить, что мы интересуемся только частицами, которые попадают лишь на эту площадку, то отсюда будет следовать, что каждое из чисел р равно '/б. так как числа эти равны между собой и в сумме дают единицу, в силу доказанной выше теоремы. Конечно, сделанный вывод, основанный на ряде допущений, требует для своего подтверждения опытной проверки; однако мы настолько привыкли в подобных случаях к положительному исходу опыта, что с полным практическим основанием полагаемся на наши теоретические допущения и до их опытной проверки. Обычно в таких случаях говорят, что данная операция может иметь я различных равновероятных между со-
ПРИМЕРЫ
23
бой результатов (так, в пашем примере попадание космической частицы иа площадку, изображенную на рис. 2, может иметь своим результатом попадание в один из шести квадратов).
Вероятность каждого отдельного из этих п результатов равна —. Важность такого рода «априорных»
расчетов заключается в том, что во многих случаях они позволяют предвидеть вероятность события в та-кнх условиях, где постановка массовых операций либо вовсе невозможна, либо чрезвычайно затруднена.
