Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4] ВЫВОД ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
17
Рассмотрим еще другой пример. Пассажир ждет трамвая № 26 или № 16 возле остановки, у которой останавливаются трамваи четырех маршрутов: №№ 16, 22, 26, 31. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, найти вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.
Ясно, что вероятность того, что первым подойдет к остановке трамвай № 16, равна 'А; такая же вероят-ность того, что первым подойдет трамвай № 26. Искомая же вероятность, очевид-
но, равна '/г- Но
2
2
1 + 1' 4 4’
Рис. I.
поэтому мы можем сказать, что вероятность появления первым трамвая № 16 или № 26 равна сумме вероятностей появления трамвая № 16 и трамвая № 26.
Мы можем теперь провести общее рассуждение.
При проведении некоторой массовой операции установлено, что в каждой серии из b единичных операций наблюдается в среднем
я, раз некоторый результат Аи
а2 » » » Alt
а3 » » . » А3
и так далее. Иначе говоря,
вероятность события Л, равна -у-,
Аг
А,
Од
Ь
«з
Ь
и так далее.
2 Б. В. ГнедешЛ, А. Я. Хинчин
18 ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ 2
Как велика вероятность того, что в некоторой единичной операции наступит какой-либо один (все равно какой) из результатов Aь А2, А3, ...?
Интересующее нас событие можно назвать (Ль либо Л2, либо А3, либо ..•)*)¦ Оно в серии из Ь операций наступает + а2 + а3 + ... раз; значит, искомая вероятность равна
я, + а2 + Дз + ... ai . ац . а3 .
b Ь Ь *¦ Ь ’ • ’
это можно записать следующей формулой:
Р(Л„ либо Л2, либо Л3, либо ...) =
= Р(Л,) + Р(Л2) + Р(Л3) + ...
При этом, как в примерах, так и в общем рассуждении мы все время предполагали, что любые два из рассматриваемых результатов (например, Л) и Л2) несовместимы между собою, т. е. не могут наблюдаться в одной и той же единичной операции. Так, подошедший трамвай не может быть одновременно нужного и ненужного маршрута — он либо удовлетворяет потребность пассажира, либо нет.
Предположение о взаимной- несовместимости отдельных интересующих нас результатов очень важно; без него правило сложения становится неверным, и применение его приводит к грубым ошибкам. Рассмотрим, например, задачу, решенную в конце предыдущего параграфа (стр. 14). Там как раз отыскивалась вероятность того, что при двойном выстреле по-падет в цель либо первый, либо второй стрелок, причем для первого стрелка вероятность попадания равна 0,8, а для второго 0,7. Если бы мы хотели применить к решению этой задачи правило сложения, то сразу нашли бы, что искомая вероятность равна 0,8 + + 0,7 = 1,5 — результат явно нелепый, так как вероятность события не может быть больше единицы. К такому неверному и бессмысленному ответу мы пришли потому, что применили правило сложения к такому
*) Многоточие здесь и в других подобных случаях означает «и так далее»
§ 5] ПОЛНАЯ СИСТЕМА СОБЫТИЙ 19
случаю, где его применять нельзя: те два результата,
о которых идет речь в этой задаче, совместимы друг с другом, ибо вполне возможно, что оба стрелка поразят цель при одном и том же двойном выстреле. Значительная часть ошибок, которые делают начинающие при расчете вероятностен, основывается именно на таком неправильном применении правила сложения; необходимо поэтому тщательно остерегаться этой ошибки и при каждом применении правила сложения проверять, действительно ли среди тех событий, к которым мы его хотим применить, каждые два несовместимы друг с другом.
Мы можем теперь дать общую формулировку правила сложения.
Правило сложения. Вероятность наступления в некоторой операции какого-либо одного (безразлично какого именно) из результатов
Ль Л2, ..., Ап равна сумме вероятностей этих результатов, если каждые два из них несовместимы между собой.
§ 5. Полная система событий
В Третьем государственном займе восстановления и развития народного хозяйства в течение двадцатилетнего срока его действия третья часть облигаций выигрывает, а остальные две трети выходят в тираж и погашаются по нарицательной стоимости. Иначе говоря, для этого займа каждая облигация имеет вероятность выигрыша, равную 1/3, и вероятность выхода в тираж, равную 2/3. Выигрыш и выход в тираж —-противоположные события, т. е. такие два события, из которых одно и только одно обязательно наступает для каждой облигации. Сумма их вероятностей
и это не случайно. Вообще, если А\ и Л2 — два противоположных событий и если в серии из b операций
2*
20
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(ГЛ 2
событие Л, наступает 0[ раз, а событие Л2 — а2 раз, то, очевидно, G| + а2 = Ь. Но
P(A,) = f, Р (AJ = -,
так что
РИ.) + РШ = т+7 = ?^=1-
