Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. t
«удачных» операций наблюдается примерно столько же, сколько «неудачных». Если Р(Л)> 1/2 собьпие А наступает чаще, чем не наступает; при Р (Л) < 1/2 мы имеем обратное явление.
Как мала должна быть вероятность события, чтобы мы практически могли считать его невозможным? На этот вопрос нельзя дать общего ответа, потому что все зависит от того, насколько важно событие, о котором идет речь. Так 0,01—число небольшое Если мы имеем партию снарядов, и 0,01 есть вероятность того, что снаряд при падении не разорвется, то это означает, что примерно 1% выстрелов останется без результата. С этим можно примириться. Но если 0,01 есть вероятность того, что при прыжке парашют не раскроется, то с этим мириться, конечно, никак нельзя, ибо это означает что в одном из сотни прыжков будет бесцельно гибнуть ценная жизнь бонца-парашютиста. Эти примеры показывают, что в каждой отдельной задаче нужно заранее на основании практических соображений установить, как мала должна быть вероятность события, чтобы мы без ущерба для дела могли не считаться с его возможностью.
§ 3. Задача
Задача. Один стрелок дает 80% попаданий в цель, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной из двух пуль.
Первый способ решения. Допустим, что производится 100 двойных выстрелов. Примерно в 80 из них цель будет поражена первым стрелком. Остается около 20 выстрелов, в которых этот стрелок даст промах. Так как второй стрелок поражает цель в среднем 70 раз из 100 выстрелов и, значит, 7 раз из 10 выстрелов, то мы можем ожидать, что в тех 20 выстрелах, в которых первый стрелок даст промах, второму удастся поразить цель примерно 14 раз. Таким образом, при всей сотне выстрелов цель окажется пораженной примерно 80 14 = 94 раза. Вероятность
§3]
ЗАДАЧА
15
поражения цели при одновременной стрельбе наших двух стрелков равна поэтому 94%, или 0,94.
Второй способ решения. Допустим опять, что производится 100 двойных выстрелов. Мы уже видели, что при этом первый стрелок даст примерно 20 промахов. Так как второй стрелок на сотню выстрелов дает примерно 30 промахов и, значит, на десяток примерно 3 промаха, то можно ожидать, что среди тех 20 выстрелов, в которых промахнется первый стрелок, будет примерно 6 таких, в которых промахнется также и второй. При каждом из этих 6 выстрелов цель останется непораженной, а при каждом из остальных 94 выстрелов по крайней мере один из стрелков выстрелит удачно, и цель будет поражена. Мы снова приходим к выводу, что при двойной стрельбе цель будет поражаться примерно в 94 случаях из 100, т. е. что вероятность поражения составит 94%, или 0,94.
Рассмотренная задача очень проста. Но тем не менее она уже приводит нас к очень важному выводу: могут быть такие случаи, когда полезно уметь находить по вероятностям одних событий вероятности других, более сложных событий. На самом деле таких случаев бывает очень много, и не только в военном деле, а и во всякой науке и всякой практической деятельности, где мы встречаемся с массовыми явлениями.
Конечно, было бы очень неудобно для каждой новой встретившейся задачи такого рода изыскивать свой особый способ решения. Наука всегда старается создать общие правила, знание которых позволило бы уже механически или почти механически решать отдельные похожие друг на друга задачи.
В области массовых явлений наука, которая берет на себя составление таких общих правил, называется теорией вероятностей. В этой книжке будут даны первые основы этой науки
Теория вероятностей есть одна из глав математической науки, подобно арифметике или геометрии. Поэтому путь ее есть путь точного рассуждения, а орудиями ее служат формула, табтица, чертеж и т. п.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 4. Вывод правила сложения вероятностей
Самым простым и самым важным общим правилом, употребляемым при расчете вероятностей, является правило сложения, которое мы теперь рассмотрим.
При стрельбе по мишени, изображенной на рис. 1, с данного расстояния для каждого стрелка имеется та или другая вероятность попасть в каждую из областей
1, 2, 3, 4, 5, 6. Пусть для какого-нибудь стрелка вероятность попасть в область 1 составляет 0,24, а вероятность попасть в область 2 — 0,17. Как мы уже знаем, это означает, что из сотни пуль, выпущенных этим стрелком, 24 пули попадают (в среднем) в область / и 17 пуль — в область 2.
Пусть в некотором состязании выстрел признается «отличным», если пуля попала в область 1, и «хорошим», если она попала в область 2. Какова вероятность того, что выстрел нашего стрелка будет либо хорошим, либо отличным?
На этот вопрос легко ответить. Из каждой сотни пуль, выпущенных стрелком, примерно 24 ложатся в область 1 и примерно 17 — в область 2. Значит, в каждой сотне пуль будет примерно 24 + 17 = 41 пуля, которые попадут либо в область 1, либо в область 2. Искомая вероятность равна поэтому 0.41=0,24 + 0,17. Вероятность того, что выстрел будет либо отличным, либо хорошим, равна, следовательно, сумме вероятностей отличного и хорошего выстрелов.
