Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Казалось бы, что все эти задачи не имеют никакого отношения к теории вероятностей и должны решаться инженерами-проектировщиками, коллективами работников заводов и эксплуатационников. Однако это не так, и на математиков ложится большая доля задач, связанных с исследованием количественной стороны расчетов, выработки целесообразных планов испытаний качества готовых изделий и получения заключе-
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
159
ний из результатов проведенных испытаний, расчетом оптимальных сроков проведения профилактических осмотров и ремонтов и т. д. И при этом оказывается, что все основные характеристики изделия, которые играют роль в его работе, носят вероятностный характер. Для примера, длительность безотказной работы одинаковых изделий, изготовленных на одном и том же заводе, из одного и того же сырья и в одних и тех же условиях, обладает значительным разбросом. Мы сами можем судить об этом достаточно определенно, если вспомним, как резко колеблются сроки службы электрических лампочек от момента их включения до момента их отправки в мусорный ящик. Мы знаем, что иногда лампочка работает безупречно годами, а иногда уже через несколько дней ее приходится заменять, поскольку у нее перегорел волосок. Длительные наблюдения и многочисленные специальные эксперименты убедительно показали, что мы не можем указать точно, какой срок в состоянии проработать данное изделие, а способны лишь оценить ту вероятность, с какой он проработает время, не меньшее чем заданное число t. Таким образом, теория вероятностей уверенно входит во все вопросы теории надежности и является одним из основных методов решения ее задач.
Перейдем теперь к рассмотрению одной несложной и притом в ее расчетной части схематической задаче. Мы поступаем так, чтобы не осложнять изложения, но в то же время достаточно ясно охарактеризовать саму стоящую перед нами практическую задачу.
Хорошо известно, что в природе нет абсолютно надежных элементов и изделий. Каждый элемент, как бы ни были совершенны его свойства, со временем теряет их. Для повышения надежности изделий поэтому приходится идти разными путями — облегчением условий эксплуатации, поиском более совершенных материалов, а также новых конструкций или же схем соединения. Одним из наиболее распространенных путей повышения надежности является резервирование* Сущность резервирования состоит в том, что в систему вводятся избыточные элементы, узлы и даже целые
160 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ 13
агрегаты, которые включаются в работу по мере выхода из рабочего состояния основных элементов. Для того чтобы обеспечить бесперебойное движение железнодорожных составов, на узловых станциях держат резервные паровозы и электровозу На крупных электростанциях обязательно имеются дополнительные генераторы электрического тока. На особо ответственных линиях электроснабжения устраиваются параллельные линии, которые в нормальной обстановке используются неполностью. Каждый автомобиль помимо четырех колес имеет еще одно запасное — резервное.
Предположим, что имеется п устройств, которые должны работать одновременно в течение времени t. Вероятность того, что какое-нибудь из них безотказно проработает этот срок, равна р (одна и та же дтявсех устройств, и устройства отказывают независимо одно от другого). Отказ хотя бы одного из ; стройств приводит к отказу всей системы (например, прокол одного колеса автомобиля приводит к отказу всего автомобиля). Вероятность того, что наша система проработает безотказно, па основании формул Бернулли равна рп.
. Как изменится вероятность безотказной работы системы, если в ней, помимо п основных устройств, имеются еще т резервных, находящихся в нагруженном состоянии (т. е. в том же режиме, в каком и основные). Отказом по-прежнему считается переход системы в такое состояние, когда в ней число работоспособных устройств оказывается меньшим п. В силу теоремы сложения вероятностей искомая вероятность равна
т
2j Ст+пР (1 ~ р)
»'“0
Проиллюстрируем полученный результат несложным числовым, примером. Пусть п = 4, т = 1, р — 0,9. Нетрудно подсчитать, что вероятность безотказной работы нерезервированной системы равна 0,6561. Если же у нас имеется один резервный элемент, то эта ве~ роятность становится равной 0,9185. Таким, образом, один-единственный элемент в резерве увеличивает ве-
§ 3/1 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ Ю1
роятность безотказной работы четырех таких же элементов почти в полтора раза. Если бы у нас было два резервных элемента, то вероятность безотказной работы системы повысилась бы до 0,9841. Вот почему единственный резервный генератор на электростанции позволяет почти полностью исключить возможность выхода ее из рабочего состояния.
Надежность систем увеличивается во много раз. если используется так называемое резервирование с восстановлением. Каждое отказавшее устройство немедленно направляется на ремонт и сразу же после восстановления вновь поступает в резерв. Таким путем удается увеличить надежность резервированных систем во много раз.
