Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
150 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 13
Добавим к сказанному, что любое использование математических средств исследования для изучения тех или иных явлений природы, технических, экономических или психических процессов требует предварительной их схематизации, выделения некоторых характерных особенностей, достаточно полно описывающих их течение. Теперь принято говорить не о схематизации явлений, а об их моделировании. Созданная нами модель явления обладает многими особенностями, облегчающими ее изучение. Во-первых, она проще самого изучаемого явления, во-вторых, для нее четко сформулированы исходные положения и связи, чего в реальных процессах, а особенно в явлениях экономики и биологии, не бывает. Изучив явление на достаточно простой модели и сравнив полученные выводы с результатами наблюдений самого явления, мы можем сделать заключение о качестве нашей модели и в случае необходимости внести в нее необходимые уточнения. В построении каждой математической модели неявно предполагается, что математический анализ применим к исследованию процесса изменения некоторой системы только в том случае, если каждое возможное состояние и эволюция исчерпывающе описываются посредством некоторого избранного нами математического аппарата.
Пожалуй, одной из самых замечательных математических моделей окружающих нас явлений определенной природы следует считать механику Ньютона. Простая схема протекания процессов и связанный с ней математический аппарат классических дифференциального и интегрального исчислений прекрасно описывают многочисленные процессы вот уже в течение четверти тысячелетия. Успехи машиностроения и первые полеты космических станций не только вблизи от Земли, но и к другим небесным телам, в значительной степени основаны на широком использовании классической механики Ньютона. В ней предполагается, что движение системы материальных точек полностью описывается положением и скоростью каждой из них. Иными словами, указание этих данных в момент t дает возможность однозначно вычислить состояние
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ
151
нашей системы для любого другого момента времени. Для этой цели механика предлагает уравнения движения.
Обратим внимание на то. что если бы мы под состоянием системы точек понимали только их положение в момент t, то такое понимание состояния было бы недостаточно для однозначного определения последующих состояний системы. Для механики Ньютона понятие состояния должно быть расширено добавлением значения скорости в данный момент.
Вне классической механики, собственно во всей современной физике приходится иметь дело со значительно более сложным положением дел, когда знание состояния системы в данный момент уже не может однозначно определить само состояние системы. Для марковских процессов однозначно определяется лишь вероятность перехода в то или иное состояние за заданный промежуток времени. Если угодно, то марковские процессы мы можем рассматривать как широкое обобщение процессов, изучаемых классической механикой.
§ 35. Простейший поток событий
Во многих практически важных или же интересных в познавательном отношении ситуациях приходится выяснять закономерности появления определенного типа событий: прибытие судов в морской порт, отказы в работе сложного устройства, замена перегоревших электрических лампочек, обрывы нитей на ватерной машине, регистрация моментов распада атомов радиоактивного вещества и т. д. Расчет многих предприятии бытового обслуживания — парикмахерских, касс магазинов, количества общественного транспорта, необходимого числа коек в больницах, пропускной способности шлюзов, переездов, мостов и т. д. тесно связан с изучением такого рода потоков. В последние годы было проведено тщательное изучение моментов прибытия самолетов в крупные аэропорты, прибытие грузовых судов в порты назначения, поступление вызовов на станции скорой медицинской помощи, поступление
152 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 13
вызовов от абонентов телефонной сети на станцию и т. д. В результате этих наблюдений оказалось, что во всех указанных случаях с достаточно хорошим приближением появление этих событий хорошо описывается такой закономерностью.
Обозначим через t промежуток времени, который нас интересует, и положим, что P^U) есть вероятность появления k событий потока за этот промежуток времени. Тогда при k — О, 1, 2, ... t большой точностью выполняется равенство
(о
где А, — положительная постоянная, характеризующая собой «интенсивность» поступления событий потока. В частности, вероятность того, что за промежуток времени t не поступит пи одного события потока, равна
Pe(t) = e~“. (2)
В молекулярной физике рассматривается задача: определить вероятность того, что в течение данного промежутка времени длительности t данная молекула не столкнется с другими молекулами. В книгах, посвященных соответствующим задачам физики, показывается, что эта вероятность как раз равна е~и. Заметим, что если под потоком событий понимать в этом примере моменты столкновений данной молекулы с другими молекулами, то мы определяем как раз вероятность того, что в промежутке длины i не произойдет пи одного события потока.
