Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 45

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 53 >> Следующая

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

147

Если мы теперь запишем потребляемую мощность не одним станком, а большой группой 10—20 станков, то резкие колебания, которые имеют место на рис. 17, сгладятся. Суммарная потребляемая мощность не потеряет своего случайного характера, но приобретет большую плавность. В значительной степени это объясняется теми закономерностями, которые мы узнали при изучении закона больших чисел. Общий вид этой" новой случайной функции дан на рис. 18. Процесс

Рис. 18.

-п

выравнивания связан с тем, что пиковые (максимальные) нагрузки одного приемника часто приходятся на те промежутки, когда другие приемники потребляют не слишком большую или даже минимальную мощность. Мы уже знаем, что дисперсия суммы п независимых случайных величин возрастает приблизительно как У п.

В настоящее время исследование электрических нагрузок промышленных предприятий, а также городских сетей все в большей мере базируется на указанных нами особенностях. Именно поэтому идеи, методы и математический аппарат теории вероятностей и теории случайных процессов (т. е. теории случайных функций одного независимого переменного) находят широкое применение при их решении.

§ 34. Понятие случайного процесса.

Разные типы случайных процессов

Мы подошли к тому, чтобы дать определение случайного процесса. Представим себе, что некоторая случайная величина ?(/) зависит от непрерывно изменяющегося параметра t. Как правило, этот
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 13

параметр называют временем, хотя в действительности он может иметь и другой смысл. Однако в подавляющем большинстве задач t действительно является временем.

Чтобы задать случайный процесс, нужно научиться не только описывать те значения, которые он может принимать в каждый момент времени, но и ожидаемые изменения принятых значений, а также вероятности возможных изменений процесса во времени и степень зависимости предстоящего развития процесса от его прошлой истории. Без этого говорить о том, что мы знаем случайный процесс, никак нельзя. Общий метод математического описания случайных процессов состоит в следующем: для любого целого положительного числа п и для любых моментов времени t\, . in считаются известными функции

F (^Ii ^2* ¦ • • * Ini Х‘2, . . ., Хп) —

и= Р {?(Л) ^ XU \ (til) ^ ¦*«}•

Эти функции равны вероятностям одновременного выполнения неравенств ?(^)<лг* Для Бсех выбранных моментов времени tt, i = 1, 2, ..., п.

Предлагаемый метод описания случайных процессов универсален и позволяет в принципе выяснить все особенности поведения процесса во времени. Однако этот способ очень громоздок. Именно поэтому для получения более глубоких результатов приходится идти по иному пути: выделять важные частные типы случайных процессов и для них искать более совершенный аналитический аппарат, приспособленный к расчетам и построению математических моделей изучаемых явлений. В настоящее время, в связи с различными реальными процессами выделены несколько классов случайных процессов и их изучение продвинуто достаточно далеко. Необходимые для этого математические сведения выходят за пределы элементарных математических знаний.

Среди различных типов классов случайных процессов особое значение приобрели марковские про-
§ 111

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО процесса

149

цессы, названные так в честь выдающегося русского математика конца XIX — начала XX столетия А. А. Маркова. Марков ввел в рассмотрение и первый стал систематически изучать свойства так называемых цепных зависимостей, явившихся прототипом для построения понятия и теории марковских случайных процессов.

Предположим, что процесс ?,(() обладает следующим свойством. Для любых моментов времени /0 и t, to < /, вероятность перейти из состояния х0 в момент времени t0 в состояние х (или в одно из состояний, принадлежащих некоторому множеству А) в моментt зависит только от t0, х0, i и х (или Л), и дополнительное знание состояний, в которых был процесс в предшествующие /0 моменты времени, ее не изменяет. Для таких процессов вся история их развития как бы концентрируется в достигнутом в момент to состоянии хо и только через х0 влияет на последующее его развитие. Именно такие процессы и называются марковскими.

Казалось бы на первый взгляд, что такая сильная схематизация явлений, которая заложена в марковских процессах, далека от действительных потребностей, поскольку обычно последействие предшествующей истории развития продолжается довольно долго. Однако опыт, накопленный математикой и ее применениями в биологии, технике, физике и других областях знания, убедительно показывает, что в схему марковских процессов прекрасно укладываются многие явления, такие, как явление диффузии или управление автоматизированным производством. Более того, оказалось, что путем изменения понятия состояния можно любой случайный процесс превратить в марковский. А это обстоятельство представляет очень серьезный аргумент в пользу широкого развития теории марковских процессов. Последнее замечание широко используется в исследовании многих вопро' сов практики, поскольку для марковских процессов удается воспользоваться хорошо разработанными сравнительно простыми аналитическими средствами расчета.
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed