Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р{\х — я | < 6) = Р (| .* — х|<а) + Р(а<|* — лг|<Ь), то
Р (а <\х — х\<Ь) = Р (\х — х\<Ь)~ Р (| л: — х | < а) =
-фШ-ф(?)- <6>
чем и решается поставленная задача.
Для подавляющего большинства запросов практики та таблица значений величины Ф(а), которой мы все время пользовались, представляется, однако, излишне громоздким орудием расчета. Обычно бывает
10*
но
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ 12
нужно рассчитать лишь вероятности попадания уклонения к — х в более или менее крупные отрезки; поэтому для целей практики желательно, наряду с нашей «полной» таблицей, иметь также и сокращенные таблицы, которые легко составить из полной таблицы с помощью формулы (6).
Приведем пример построения такого рода таблицы, гораздо более грубой, чем таблица в конце книги, и тем не менее во многих случаях совершенно достаточной. Разобьем весь промежуток изменения величины |д" — я| на пять частей: 1) от нуля до 0,32Qr; 2) от
0fv° /2% !2f% /2,5% К5% 12.5% 12% 0.5V.
---""'Г'''_________________________________________ '¦Г'"'
-258Ox '~U5QX -№Qx-№QxO 0,3Z0X 0,В90Х !.!5QX 2.580Х
Рис. 16.
0,32Q.V до 0.69Q*; 3) от 0.69Q* до 1,15QX; 4) от 1.15Q* до 2,58(2* и 5) свыше 2,58(2*.
Пользуясь формулой (4), находим:
Р (| х - х | < 0.32Q ,) = Ф (0,32) ~ 0,25;
Р (0,32Qjr < | х - х | < 0.69Q,.) = Ф (0,69) -Ф (0,32) « 0,25;
Р (0.69Q* < | х - х | < 1,15Q*) = Ф (1,15)-Ф (0,69) » 0,25;
P(l,15Q,<|x-x|<2,58QJ,) =Ф(2,58)-Ф(1,15) « 0,24;
Р (|* - х | > 2.58QJ = 1 - Ф (2,58) « 0,01.
Результат этого расчета удобно изобразить с помощью графической схемы (рис. 16).
Здесь вся бесконечная прямая разделена на десять участков: пять положительных и пять отрицательных. Над каждым участком указано, какой процент фактически наблюдаемых уклонений будет в среднем падать на этот участок. Так, например, согласно вышеприведенному расчету на участки (—1,15QX, —0.69Q*) и l(0,69Q:jc, l,15Qx) вместе взятые должно падать при-
r
§ 32]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Ml
мерно 25% всех уклонений. В силу симметрии нормальных законов уклонения будут падать на оба участка приблизительно одинаково час го, так что на каждый из них будет ложиться около 12,5% общего числа уклонений. Имея под руками эту или подобную ей простую схему, мы можем непосредственно представить себе в основных чертах распределение уклонений для случайной величины, подчиненной нормальному закону с произвольными средним значением и средним квадратическим уклонением.
Рассмотрим, наконец, как вычисляется вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, в некоторый произвольно заданный отрезок.
Задача III. Зная, что случайная величина х распределена по нормальному закону (среднее значение х, среднее квадратическое уклонение Qx), вычислить с помощью таблицы вероятность неравенства с < х < Ь, где а и b (а < Ь) — данные произвольные числа.
Нам придется рассмотреть три случая, в зависимости от расположения чисел а и b относительно х.
Первый случай: х а Ь.
По правилу сложения
Р (а <х<Ь) = Р(х<*<&) — Р (х < х < о) =
= Р (0 < х — х<Ь — х) — Р (0 < х — х < а — х).
Но при любом а > 0, в силу симметрии нормальных законов:
Р (0 < х — х < а) = Р (— а<х — х < 0) =
= -j Р (— а < х — х < а) = у Р (| х — х | < а) =
Р (х < х < b) = Р (х < х < а) + Р (а < х < Ь),
откуда
142
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
(ГЛ 12
поэтому
р(«<к«;4{ф(^-)-ф(ы-)}.
Второй случай: a *СЬ.
Р (а < х < Ь) = Р (а < х < х) + Р (х < х < Ъ) =
= Р (а — х<х — *<0) + Р(0<л: — x<b — х) =
-1{ф(^)+*(1ё)}
в силу формулы (7).
Третий случай: а b ^х.
Р (а < х < х) = Р (а < х < b) + Р (Ь < х < х), откуда
Р (а < х < b) = Р (а < х < х) — Р (Ь < х < х) =
= Р (а — л; < л: — х < 0) — Р (Ь — х<х — х<0) =
“Мф(^е)-ф(^г)}-
Задача решена во всех трех случаях. Мы видим, что для случайной величины, распределенной по любому нормальному закону, наша таблица дает возможность найти вероятность попадания этой величины в любой отрезок и тем самым исчерпывающим образом характеризует ее закон распределения. Для того чтобы посмотреть, как практически ведутся расчеты, рассмотрим следующий пример.
Пример. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 1200 м. Предполагая, что дальность полета Н распределена по нормальному закону со средним квадратическим уклонением 40 м, найги, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 60 до 80 м.
Для того чтобы снаряд имел такой перелет, мы должны иметь 1260 < Н < 1280; применяя заключительную формулу первого случая задачи III, мы
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
143
находим:
Р (1260 < Н< 1280) =
из таблицы находим-
Ф (2) 0,955, Ф(1,5) 0,866,
откуда
Р(1260<Н< 1280) ~ 0,044;
