Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р (\х — х | < а) = Р (| (cz + d) — (cz + d) | < a) =
= P (с \z — z | < a);
но в силу формулы (2) на стр. 132 здесь с = yf- = Qx,
так как Qz = 1 (для основного нормального закона дисперсии равна 1). Таким образом
P(|x — ?|<а) = Р (Qx | z — 2 | < а) =
-p(i2l<t)"®(i)' <4> Этим поставленная задача решена, так как величина Ф^-^-j непосредственно находится из таблицы.
Таким образом, наша таблица с помощью формулы (4) позволяет легко вычислить вероятность любой границы уклонения для величины, подчиненной любому нормальному закону.
Пример 1. На станке изготовляется некоторая деталь. Оказывается, что ее длина х представляет со-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
137
бой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и дисперсию, равную 0.2 см. Наити вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и
20.3 см, т. е. что уклонение в ту или другую сторону не превзойдет 0,3 см.
В силу формулы (4) и нашей таблицы
Р { \х - 20 | < 0,3} = ф(-Ц) = Ф (1,5) = 0,866.
Итак, около 87% всех изделий, изготовленных в данных условиях, будут иметь длины между 19,7 и
20.3 см\ остальные 13% будут иметь большие отклонения от среднего.
Пример 2. В условиях примера 1 найти, какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Задача состоит, очевидно, в отыскании такого положительного числа а, для которого
Р {| л; — 20 | < а} > 0,95.
Расчет примера 1 показывает, что а = 0,3 для этого мало, ибо в этом случае левая часть только что написанного неравенства меньше чем 0,87. Так как, согласно уравнению (4), Р {| х — 20 |<я} = Ф = Ф(5а),
то нужно найти прежде всего в таблице такое значение 5а, для которого Ф (5а) > 0,95. Находим, что это будет при 5а > 1,97, откуда «>0,394.
Таким образом, с вероятностью, превосходящей 0,95, можно гарантировать, что уклонение длины не превзойдет 0,4 см.
Пример 3. В некоторых практических вопросах считают, что случайная величина х, распределенная по нормальному закону, не обнаруживает уклонения большего, чем три средних квадратических уклонения Qx. Какие основания имеются для этого утверждения?
Формула (4) и таблица показывают, что
Р {\х - х | < 3QJ = Ф (3) > 0,997, и, следовательно, Р{{х-Х\ >SQX) <0,003.
10 Б. В. Гнеденко. А. Я. Хинчин
133
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 12
Практически это значит, что уклонения, превосходящие по абсолютному значению 3QX, будут в среднем встречаться реже, чем три раза на тысячу. Можно ли пренебрегать такой возможностью или ее все же необходимо учитывать — это, конечно, зависит от содержания задачи и не может быть раз навсегда предписано.
Заметим, что соотношение •= Ф (3) является, очевидно, частным случаем формулы
Р {| х - х | < aQx} = Ф (а), (5)
вытекающей из формулы (4) и имеющей место для всякой случайной величины х, распределенной по нормальному закону.
Пример 4. При среднем весе некоторого изделия в 8,4 кг найдено, что уклонения, по абсолютному значению превосходящие 60 г, встречаются в среднем
3 раза на каждые 100 изделий. Допуская, что вес изделий распределен по нормальному закону, определить его вероятное уклонение.
Нам дано, что
Р (I а- — 8,41 >0,05) = 0,03, где х — вес случайно выбранного изделия. Отсюда 0,97 = Р (\х - 8,4 |<0,05) = Ф;
таблица показывает, что Ф (а) = 0,97 при а 2,12. Поэтому
0,05 _ 0 19
Qx ~2,1Л
откуда
Вероятное отклонение, как мы знаем "(стр. 134), равно Ех = 0.674Q* к* 0,0155 кг =15,5 г.
Пример 5. При стрельбе из орудия уклонение снаряда от цели вызывается тремя взаимно независимыми причинами: 1) погрешностью в определении по-
$ 32] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 139
ложения цели, 2) погрешностью в наводке и 3) ошибкой от причин, меняющихся от выстрела к выстрелу '(вес снаряда, атмосферные условия и т. п.). Предпб-лагая, что все три погрешности распределены по нормальным законам со средним значением 0 и что вероятные уклонения их соответственно равны 24 м, 8 м и 12 м, найти вероятность того, что суммарное уклоне* ние от цели не превзойдет 40 м.
Так как вероятное уклонение суммарной ошибки х в силу свойства III (стр. 135) равно
У242 + 82 + 122 = 28 м,
то среднее квадратическое уклонение суммарной ошибки равно
28 л\ к.
0,674 41,5
и, значит,
Р ( | х | < 40) = Ф ** Ф (0,964) = 0 665.
Уклонения, не превосходящие 40 м, будут, таким образом, наблюдаться примерно в 2/3 всех случаев.
Задача II. Случайная величина х распределена по нормальному закону со средним значением х и средним квадратическим уклонением Qx. Найти вероятность того, что уклонение х — х по абсолютному значению будет заключено между числами а и Ь (0 < а < Ь).
Так как по правилу сложения
