Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 41

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 53 >> Следующая


II. Отношение срединного (вероятного) уклонения к среднему квадратическому уклонению одно и то же для всех нормальных законов.

Пусть мы имеем два произвольных нормальных закона, и пусть х — случайная величина, подчиняющаяся первому из этих законов. В силу основного свойства 1 существуют такие постоянные числа с > 0 и d, что величина сх + d распределена согласно второму из данных законов. Обозначим соответственно через Qx и Ех среднее квадратическое уклонение и срединное (вероятное) уклонение первой величины и через q и е — те же уклонения для второй величины. По определению вероятного уклонения

Р {| {сх + d\— {сх + d) | < е} = у,

или

Р{с \х-х\<е} = у,
134

НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ

1ГЛ. 12

или, наконец,

p(\x-x\<~) = j.

9

Отсюда, снова по определению вероятного уклонения, следует, что есть вероятное уклонение величины х,

т. е. = ЕХ, откуда -J- = c; поэтому из (2)

С Их х Чх

е Ех

откуда ¦ = ¦—, т. е. отношение вероятного уклонения

к среднему квадратическому уклонению одинаково для наших двух законов.

Так как эти законы, по предположению, были двумя произвольными нормальными законами, то наше утверждение доказано.

Отношение ~ есть, таким образом, абсолютная по-

стояная; обозначим ее X; вычислено, что Я =

»0,674. Значит, для любого нормального закона

e~Vb-

В силу этой исключительно простой связи между числами ей q для величин, распределенных по нормальным законам, практически безразлично, какой из двух характеристик рассеяния пользоваться; выше говорилось, что (даже если не ограничиваться величинами, распределенными по нормальным законам) среднее квадратическое уклонение обладает целым рядом простых свойств, которых лишены другие характеристики и которые в большинстве случаев заставляют как теоретиков, так и практиков выбирать в качестве меры рассеяния именно средние квадратические уклонения. Там же было указано, что артиллеристы тем не менее почти всегда пользуются срединными уклоне-' ниями. Мы видим теперь, почему эха традиция не может принести никакого ущерба: случайные величины, с которыми имеют дело артиллерийская наука и практика, почти всегда оказываются распределенными по нормальным законам, а для таких величин, в силу упомя-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

135

нутой выше пропорциональности, выбор любой из двух характеристик практически безразличен.

III. Пусть х и у — вазимно независимые случайные величины, подчиненные нормальным законам, и г = = х + у. Тогда

Ег = УЧ + Е1,

где Ех, Еу, Ег означают соответственно вероятные уклонения величин х, у, г.

Аналогичная формула для средних квадратических уклонений, как мы знаем из § 25, нмеет место, каковы бы ни были законы распределения величин х и у. В случае, когда это нормальные законы, величина г в силу основного свойства 2 также распределена по нормальному закону; поэтому на основании свойства II

Ех = А<2Л., Еу = Я Qy, Ez = Я Qz,

и, значит,

Ez -1УЩЩ - VW+w - УЩЩ ¦

Мы видим, что в случае нормальных законов одно из наиболее важных свойств средних квадратических уклонений непосредственно переносится и на вероятные (срединные) уклонения.

§ 32. Решение задач

Условимся называть основным нормальным законом закон, для которого среднее значение равно нулю, а дисперсия — единице. Если х есть случайная величина, подчиненная основному нормальному закону, то условимся для краткости писать

Р { U | < а} = Ф (я)

для любого положительного числа а. Таким образом, Ф(о) есть вероятность того, что величина х, подчиненная основному нормальному закону, по абсолютному значению не превзойдет числа а. Для величины Ф(а) составлена очень точная таблица, дающая ее значения для различных значений числа а. Такая таблица
136

НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ

1ГЛ. 12

служит незаменимым орудием для каждого, кому приходится иметь дело с расчетами вероятностей. Она прилагается ко всякой книге, посвященной теории вероятностей. В конце нашей книжки читатель также найдет такую таблицу. Имея таблицу значений функции Ф(а) под руками, можно легко и с большой точностью производить все расчеты для любых величин, распределенных по нормальным законам Мы теперь покажем на примерах, как это делается.

Задача I. Случайная величина х распределена по нормальному закону со средним значением х и средним квадратическим уклонением Qx. Найти вероятность того, что уклонение х — х по абсолютному значению не превзойдет числа а.

Пусть z — случайная величина, распределенная согласно основному нормальному закону. В силу основного свойства I (стр. 131) найдутся такие числа с > 0 и d, что величина cz + d имеет среднее значение х и среднее квадратическое уклонение Qx, т. е. подчинена тому же нормальному закону, что и данная величина х. Поэтому
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed