Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
130
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 12
нейшему значению; так как в силу указанной выше симметрии в случае нормального закона наивероятнейшее значение всегда совпадает со средним значением, то мы можем сказать, что случайная величина, подчиненная закону а), мало рассеяна; в частности, ее дисперсия и среднее квадратическое уклонение малы.
Наоборот, в случае, изображенном на рис. 15, в), площадь, сосредоточенная в непосредственной близости наивероятнейшего значения, составляет лишь небольшую долю суммарной площади (мы сразу увидим
Рис. 15.
различие, если сопоставим на рис. 15, а) и в) участки (а, (3) одинаковой длины и расположенные над ними площади). Здесь весьма вероятно поэтому, что случайная величина будет получать значения, заметно уклоняющиеся от ее наивероятнейшего значения. Величина сильно рассеяна, ее дисперсия и среднее квадратическое уклонение велики.
Случай б), очевидно, занимает положение, промежуточное между случаями а) и в).
Чтобы наиболее быстрым образом ознакомиться со всей совокупностью нормальных законов и научиться применять их, целесообразно исходить из двух
§ 31] СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ КРИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 131
основных свойств, которые будут сейчас подробно сформулированы, но не доказаны, так как для этого нам пришлось бы прежде всего точно определить нормальные законы, что потребовало бы от читателя знания высшей математики.
Свойство 1. Если величина х распределена по нормальному закону, то
1) при любых постоянных с > 0 и d величина сх + d также распределена по некоторому нормальному закону, и
2) обратно, для любого нормального закона найдется такая (единственная) пара чисел с > 0 и d, что величина сх -j- d распределена именно по этому закону.
Таким образом, если случайная величина х распределена по нормальному закону, то законы распределения, которым подчиняются величины сх + d при всевозможных значениях постоянных с > 0 и d, — это все нормальные законы.
Свойство 2. Если случайные величины хну взаимно независимы и распределены по нормальным законам, то и сумма их z = х + у распределена по некоторому нормальному закону.
Приняв без доказательства эти два основных свойства, мы можем теперь строго обосновать ряд свойств нормальных законов, особенно важных для практики.
I. Для любых двух чисел а и q > 0 существует единственный нормальный закон со средним значением а и средним квадратическим уклонением q.
В самом деле, пусть х — случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением х и средним квадратическим уклонейием Qx. На основании свойства 1 наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что существует единственная пара чисел с > 0 и d, удовлетворяющая тому требованию, чтобы величина сх + d имела среднее значение а и среднее квадратическое уклонение q. Если таблица величины х имеет вид
*1 *2 хп
Pi Р2 ... Рп
132
¦НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 12
то величине сх + d (где с > 0 и d — пока любые ПО' стоянные) будет соответствовать таблица'
сх 1 + d СХ 2 + d ... схп + d
Pi Р2 ' Рп
Очевидно, 2 xkpk = х, 2 (xk - xf рк = Q\ *). k k Наши требования сводятся к двум условиям:
2 (cxk + d) pk = а; 2 (cxk + d-afpk = q2.
k к
Первое из этих условий дает с 2 xkPk + d 2 Ри = а,
k к
ИЛИ
cx + d = a, (1)
а второе 2 (cxk + d — сх — d)2 pk = с2 2 (хк — xf pk ^ к k = c‘Qjc = q2I откуда (так как с > 0)
и, значит, из (1)
d = а — сх = а —. (3)
Ч.Х
Таким образом, по данным а и q числа с и d с помощью (2) и (3) всегда могут быть найдены, и притом единственным способом; величина сх + d подчиняется нормальному закону со средним значением а и средним квадратическим уклонением q\ этим наше утверждение доказано.
Если не ограничиваться нормальными законами, а рассматривать всевозможные законы распределения, то задание среднего значения и дисперсии или среднего квадратического уклонения случайной величины дает нам об ее законе распределения еще очень мало сведений, так как существует весьма много (и притом
tl
*)3нак ^ — сокращенный; он обозначает У,. к А=1
§ 31] СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ КРИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 133
существенно различных между собой) законов распределения, обладающих одним и тем же средним значением и одной и той же дисперсией; в общем случае задание среднего значения и дисперсии лишь весьма приблизительно характеризует закон распределения данной случайной величины.
Иначе обстоит дело, если ограничиться рассмотрением одних только нормальных законов. С одной стороны, как мы только что убедились, любое предположение о среднем значении и дисперсии данной случайной величины совместимо с требованием, чтобы она подчинялась нормальному закону. С другой стороны,-— и это самое главное, — если мы имеем основание заранее предполагать, что данная величина распределена по одному из нормальных законов, то заданием ее среднего значения и дисперсии закон распределения однозначно определяется, так что ее природа как случайной величины становится полностью известной. В частности, зная среднее значение и дисперсию такой величины, мы можем вычислить вероятность того, что значение ее будет принадлежать тому или другому произвольно выбранному участку.
