Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
ПОНЯТИЕ КРИВОП РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
127
ных на чертеже прямоугольников, расположенных над этим отрезком. Но если возможные значения расположены очень густо, как на рис. 12, то сумма площадей таких прямоугольников практически не будет отличаться от площади криволинейной фигуры, ограниченной снизу отрезком (а, Р), сверху — кривой распреде-ления, а с боков — вертикальными черточками, проведенными из точек аир (рис. 14) *). Таким образом,
С?У ( - * 1
* !-
/
Рис. 13.
на криволинейной диаграмме типа рис. 14 вероятность попадания данной случайной величины в любой отрезок просто и.удобно выражается площадью, лежащей над этим отрезком ниже кривой распределения. Если закон распределения данной величины задается такой криволинейной диаграммой, то на ней вовсе не проводят вертикальных черточек, которые только загромоздили бы собой чертеж; да и самый вопрос о вероятностях отдельных значений здесь теряет свою актуальность; если возможных значений очень много (а ведь именно это и лежит в основании всех криволинейных диаграмм), то вероятности отдельных значений будут, как правило, ничтожно малы (практически равны нулю) и теряют всякий интерес. Так, при измерении расстояния между двумя населенными пунктами совсем несущественно знать, что результат измерения отклонится от истинного значения ровно на 473 см.
*) При этом, конечно, по-прежнему за единицу длины при-нимается расстояние между двумя соседними возможными значениями.
128
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 12
Напротив, представляет существенный интерес вопрос о вероятности уклонения, заключенного в промежутке от 3 л до 5 л. И так во всех подобных случаях: если случайная величина принимает очень много значении,
то нам важно знать вероятности не отдельных этих значений, а вероятности целых отрезков таких значений. Но именно эти вероятности даются наглядно и непосредственно, как мы только что видели, площадями на криволинейных диаграммах.
§ 31. Свойства нормальных кривых распределения
Величина, распределенная по нормальному закону, всегда имеет бесчисленное множество возможных значений; поэтому нормальные законы удобно графически изображать криволинейными диаграммами.
На рис. 15 изображено несколько кривых распределения по нормальному закону. Несмотря на все различия в облике этих кривых, мы видим у них ясно выраженные общие им всем черты:
1) Все кривые имеют одну наивысшую точку, при удалении от которой вправо или влево они непрестанно понижаются. Очевидно, это означает, что при удалении значений случайной величины от ее наивероятнейшего значения вероятности их непрестанно убывают.
2) Все кривые симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через наивысшую точку. Очевидно, это означает, что значения, равноудаленные от наивероятненшего значения, имеют одинаковые вероятности.
§ зп СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ КРИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 129
3) Все кривые имеют колоколообразную форму; вблизи наивысшей точки они обращены выпуклостью кверху, а на некотором расстоянии от нее перегибаются и обращаются выпуклостью книзу; расстояние это (как и наибольшая высота) различно для различных кривых *).
Чем же отличаются друг от друга различные нормальные кривые? Чтобы ясно ответить на этот вопрос, мы должны прежде всего вспомнить, что для всякой кривой распределения вся расположенная под нею площадь равна единице, ибо площадь эта равна вероятности того, что данная случайная величина примет какое бы-то ни было из своих значений, т. е. вероятности достоверного события. Отличие отдельных кривых распределения друг от друга состоит поэтому лишь в том, что эта суммарная площадь, одна и та же для всех кривых, различным образом распределена между различными участками Для нормальных законов, как показывают кривые на рис. 15, вопрос в основном заключается в том, какая доля этой суммарной площади сосредоточена над участками, непосредственно примыкающими к наивероятнейшему значению, и какая — над участками, более удаленными от этого значения. Для закона, изображаемого рис. 15, а), почти вся площадь сосредоточена в непосредственной близости наивероятнейшего значения; это означает, что случайная величина с подавляющей вероятностью— и, значит, в подавляющем большинстве случаев — принимает значения, близкие к ее наивероят-
*) Для читателей, знакомых с элементами высшей матема-тики, мы заметим, что уравнение кривой, изображающей нормальный закон, имеет такой-вид:
1 [ (х-аУ\
—?=“)'
где число е = 2,71828... есть основание натуральных логарифмов я = 3,14159...—отношение длины окружности к ее диаметру, а величины а и а2 представляют собой среднее значение и дисперсию случайной величины. Знание аналитической формы нормального закона может значительно облегчить читателю ознакомление с дальнейшим лгатерпалом книги Однако изложение всего последующего доступно и читателю, не знакомому с высшей математикой.
9 Б. В. Гнеденко, А. Я. Хинчин
