Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теоретические исследования показали, что в большом числе встречающихся на практике случаев мы с достаточным основанием можем ожидать законов распределения некоторого совершенно определенного типа. Эти законы называются нормальными законами. О них мы кратко, опуская ввиду сложности все доказательства и точные формулировки, расскажем в настоящей главе.
Среди случайных величин, встречающихся нам в практике, очень многие носят характер «случайных погрешностей», или «случайных ошибок», или по крайней мере легко сводятся к таким «погрешностям». Пусть, например, изучается дальность х полета снаряда при стрельбе из некоторого орудия. Мы, естественно, допускаем, что существует некоторая нормальная, средняя дальность хо, на которую и устанавли* ваем прицельные приборы; разность х — хо составляет «погрешность», или «ошибку», дальности, и изучение
124
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ *
[ГЛ 12
случайной величины х целиком и непосредственно сводится к изучению «случайной ошибки» х — х0
Но такая ошибка, меняющая свою величину от выстрела к выстрелу, зависит, как правило, от очень многих причин, действующих независимо друг- от друга: случайные колебания ствола орудия, неизбежный (хотя бы и небольшой) разнобой в весе и форме сна' рядов, случайные изменения атмосферных условий, вызывающие изменения в сопротивлении воздуха, случайные ошибки в наводке .(если наводка производится заново перед каждым выстрелом или каждой небольшой группой выстрелов), — все эти и многие другие причины способны вызвать ошибки в дальности полета. Все частичные ошибки будут независимыми между собой случайными величинами, причем такими, что действие каждой из них составляет лишь очень малую долю их совокупного действия, а окончательная ошибка х — А'о, которую мы хотим исследовать, будет просто суммарным действием всех случайных ошибок, происходящих от отдельных причин. Таким образом, в данном примере интересующая нас ошибка является суммой большого числа взаимно независимых случайных величин, и ясно, что подобным же образом дело будет обстоять для большинства случайных ошибок, с которыми мы имеем дело на практике.
И вот, теоретическое рассуждение, которого мы здесь не может воспроизвести, показывает, что закон распределения случайной величины, являющейся суммой очень большого числа взаимно независимых случайных величин, уже в силу одного этого, какова бы ни была природа слагаемых, лишь бы каждое из них было мало по сравнению со всей суммой, должен быть близок к закону некоторого совершенно определенного типа *).
Этот тип и есть тип нормальных законов- Таким образом, мы получаем возможность предполагать, что весьма значительная часть встречающихся в практике случайных величин (все ошибки, складывающиеся из
*) См об этом также заключение.
ПОНЯТИЕ КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
125
большого числа взаимно независимых случайных ошибок) приблизительно распределена по нормальным законам. Теперь мы должны будем ознакомиться с основными чертами этих законов
§ 30. Понятие кривой распределения
В § 15 мы уже имели случай изображать законы распределения графически, с помощью диаграмм; этот способ очень полезен, так как позволяет одним взглядом, не прибегая к исследованию таблиц, охватить
Рис. 11.
важнейшие черты исследуемого закона распределения. Используемая схема изображения такова: на горизонтальной прямой откладываются различные возможные значения данной случайной величины, начиная от некоторого начала отсчета О, положительные вправо, отрицательные влево (рис. 11). Против каждого возможного значения откладывают по вертикали кверху вероятность этого значения. Масштаб в обоих направлениях выбирается такой, чтобы вся диаграмма имела удобную и легко обозримую форму. Один беглый взгляд на рис. И убеждает нас в том, что характеризуемая им случайная величина имеет наивероятнейшее значение х5 (отрицательное) и что по мере удаления возможных значений этой величины от числа х5 вероятности их непрестанно (и довольно быстро) убывают. Вероятность того, что величина примет значение, заключенное в каком-либо отрезке (а, р), по правилу сложения равна сумме вероятностей всех возможных значений, лежащих в этом отрезке, и геомет-
126
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 12
рически изображается суммой длин вертикальных черточек, расположенных над этим отрезком; на рис. 11 Р (а < х < (3) = Р\ + р2 + Ра + Ps- Если, как это часто бывает на практике, число возможных значений очень велико, то, чтобы чертеж не слишком вытянулся по горизонтали, берут очень малый масштаб в горизонтальном направлении, вследствие чего возможные значения располагаются чрезвычайно густо (рис. 12), так
что верхушки проведенных вертикальных черточек сливаются для нашего глаза в одну сплошную кривую линию, которую называют кривой распределения данной случайной величины. И здесь, конечно, вероятность неравенств а < х < р графически изображается суммой длин вертикальных черточек, расположенных над отрезком (а, р).
Допустим теперь, что расстояние между двумя соседними возможными значениями всегда равно .единице; это будет, например, если возможные значения выражаются рядом последовательных целых чисел, чего практически всегда можно достигнуть, выбирая достаточно мелкую единицу масштаба. Тогда длина каждой вертикальной черточки численно равна площади прямоугольника, высотой которого служит эта черточка, а основанием — равное единице расстояние ее от соседней черточки (рис. 13). Таким образом, вероятность неравенств а < х < (3 графически может быть изображена суммой площадей нарисован-
