Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Щ = + q2+
где <7ь q2, ... соответственно означают средние квадра тические уклонения величин Х\, х2, .., Теперь будем
120
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. И
предполагать, что эти средние квадратические уклонения, вообще говоря, также различны между собой. Однако допустим все же, что, сколь бы много величин мы ни брали (т. е. сколь бы велико ни было число п), средние квадратические уклонения всех этих величин всегда будут меньше некоторого положительного числа Ь. На практике это условие всегда оказывается выполненным, так как складывать приходится величины более или менее однотипные, и степень их рассеяния оказывается не слишком различной для различных величии.
Итак, допустим, что qt <b (I — 1, 2, ...); но тогда последнее равенство дает
вследствие чего заключаем из неравенства (3), что Р(|?-Л|>а)<^.
Как бы мало ни было а, при достаточно большом числе п взятых случайных величин правая часть этого неравенства может быть сделана как угодно малой; это, очевидно, и доказывает закон больших чисел в рассматриваемом теперь общем случае.
Итак, если величины хи х2, ... взаимно независимы, а средние квадратические уклонения их все остаются меньше одного и того оке положительного числа, то при достаточно больших п для среднего арифмети ческого
? = “ (*1 + Х2 + + хп)
можно с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сасидать сколь угодно малых по абсолютной величине уклонений.
Это и есть закон больших чисел в общей форме, приданной ему Чебышевым.
Сейчас уместно обратить внимание на одно существенное обстоятельство. Предположим, что производится измерение некоторой величины а. Повторив измерения в одинаковых условиях, наблюдатель полу-
§ 28) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСНЛ 121
чит не вполне совпадающие числовые резулыаты дг[, *2, • • •, хп. В качестве приближенного значения а он берет среднюю арифметическую
а ~ — (xi + х2+ • • • + хп)-
Спрашивается, можно ли рассчитывать получить сколь угодно точное значение а, если произвести достаточно большое число опытов^
Это будет так, если измерения производятся без систематической ошибки, т. е. если
хк = а (при k — I, 2, ..., п)
и сами значения не обладают неопределенностью, иными словами, если при измерениях мы читаем те показания на приборе, которые там в действительности получаются. Если же прибор устроен так, что он не может давать точности отсчета, большей чем некоторая величина 6, например из-за того, что ширина деления шкалы, по которой производится отсчет, равна 6, то понятно, что нельзя и рассчитывать получить точность, большую чем ±6. Ясно, что в этом случае и средняя арифметическая будет обладать той же неопределенностью 6, как и каждое из х
Сделанное замечание учит нас, что если приборы дают нам результаты измерении с некоторой неопределенностью 6, то стремиться посредством закона больших чисел получить значение а с большей точностью является заблуждением, а сами производимые при этом вычисления превращаются в пустую арифметическую забаву
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
§ 29. Постановка задачи
Мы видели, что значительное количество явлений природы, а также производственных процессов и операций протекает при существенном участии тех или иных случайных величин. Часто до того, как явление, процесс или операция не завершены, все, что мы можем знать об этих случайных величинах, — это их законы распределения, т. е. списки их возможных значений с указанием вероятности каждого из этих значений. Если величина может получать бесчисленное множество различных значений (дальность полета снаряда, величина ошибки измерения и т. п.), то предпочтительнее указывать вероятности не отдельных значений ее, а целых участков таких значений (например, вероятность того, что ошибка измерения будет заключена в пределах от —1 мм до +1 мм, от
0,1 мм до 0,25 мм и т. д.).
Это соображение не меняет существа дела, — чтобы стать хозяевами случайной величины, чтобы овладеть ею в меру наших сил и возможностей, необходимо получить возможно точное представление о ее законе распределения.
Если бы мы, стараясь узнать законы распределения встречающихся случайных величин, отказались от всяких рассуждений и догадок общего характера и к каждой случайной величине подходили без всяких предварительных предположений, стремясь найти чи-
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
123
сто опытным путем все черты свойственного ей закона распределения, то поставили бы себя перед задачей, практически почти невыполнимой по своей трудоемкости. В каждом новом случае потребовалось бы большое число опытов, чтобы установить хотя бы важнейшие черты нового, неизвестного нам закона распределения. Поэтому ученые уже давно старались найти такие общие типы законов распределения, наличие которых можно было бы с разумным основанием предвидеть, ожидать, подозревать, если не для всех, то по крайней мере для широких классов встречающихся на практике случайных величин. И уже давно некоторые такие типы были теоретически установлены, а затем наличие их было подтверждено опытом. Понятно, насколько выгодно бывает, на основании теоретических рассуждений и всего предшествующего опыта, заранее иметь возможность предугадать, какого типа должен быть закон распределения вновь встретившейся нам случайной величины. Если такая догадка оказывается правильной, то обычно уже весьма небольшого числа опытов или наблюдений бывает достаточно, чтобы установить все нужные нам черты искомого закона распределения.
