Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
этому неравенство Чебышева дает при любом положительном а
P(Vfll>a)<^. (2)
Пусть, например, речь идет о среднем арифметическом п измерений некоторой величины, и пусть, как мы имели прежде, q = 5 м, а = 200 м. Тогда мы получаем:
P(li-200|>a)<J|.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
117
Мы можем выбрать а очень небольшим, например а = 0,5 м\ тогда
Р(||-200|>0,5)<-!^.
Если число измерений п очень велико, то правая часть этого неравенства как угодно мала; так, при п = 10 000 она равна 0,01, и мы имеем для среднего арифметического 10 000 измерений
Р (IS — 200 | > 0,5) ^ 0,01.
Если условиться пренебрегать возможностью столь маловероятных событий, то можно сказать, что при 10000 измерений их среднее арифметическое наверняка будет отличаться от 200 м в ту или в другую сторону не более чем на 50 см. Если бы мы захотели достигнуть еще большей близости, например 10 см, то надо было бы положить а = 0,1 м, и тогда
Р(11-200|>0,1)<-5|Ьг_ 255®.
Чтобы сделать менее 0,01 правую часть этого неравенства, мы должны были бы взять число измерений равным не 10000 (этого теперь недостаточно), а 250000. Очевидно, что вообще можно сколь бы мало ни было а, сделать правую часть неравенства (2) как угодно малой — для этого стоит только взять п достаточно большим. Таким образом, при достаточно большом п можно считать сколь угодно близким к достоверности обратное неравенство
11- а |< а.
Если случайные величины хх, х2, ..., хп взаимно независимы и если все они имеют одно и то же среднее значение а и одно и то же среднее квадратическое уклонение, то величина
у -У~1 + *2 + • ¦ • ~Ь хп
* п
при достаточно большом п будет с вероятностью, как угодно близкой к единице (практически достоверно), как угодно мало отличаться от а.
118
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
[ГЛ. II
Это — простейший частный случай одной из самых основных теорем теории вероятностей, так называе--мого закона больших чисел, открытого в середине прошлого столетия великим русским математиком Чебышевым. Глубокое содержание этого замечательного закона состоит в том, что, в то время как отдельная случайная величина может (как мы знаем) часто принимать значения, далекие от ее среднего значения (иметь значительное рассеяние), среднее арифметическое большого числа случайных величин ведет себя в этом отношении совершенно иначе: такая величина очень мало рассеяна, с подавляющей вероятностью она принимает лишь значения, очень близкие к ее среднему значению. Происходит это, конечно, потому, что при взятии среднего арифметического случайные уклонения в ту и другую сторону взаимно уничтожаются, вследствие чего суммарное уклонение в большинстве случаев и оказывается малым.
Важное и часто встречающееся в практике использование результатов только что доказанной теоремы Чебышева состоит в том, что по сравнительно небольшой пробе (выборке) судят о качестве однородного материала. Так, например, о качестве хлопка, находящегося в кипе, судят по нескольким маленьким его пучочкам (штапелям), выхваченным случайно из разных мест кипы. Или о качестве большой партии зерна судят по нескольким небольшим пуркам (меркам), наполненным случайно захваченными в пурку зернами из разных мест оцениваемой партии*). Суждения о качестве продукции, сделанные на основании такой выборки, обладают большой точностью, так как, скажем, число зерен, захваченных в пурку, хотя и мало по сравнению со всем запасом зерна, но само по себе велико и позволяет, согласно закону больших чисел, достаточно точно судить о среднем весе одного зерна и, значит, о качестве всей партии зерна. Точно так же
*) В пурку захватывают, скажем, 100—200 граммов, а вся партия содержит десятки, а может быть даже сотни тонн зерна.
§28] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ J19
о двадцатипудовой кипе хлопка судят по маленькому штапелю, содержащему несколько сотен волокон, весящих всего-навсего какую-нибудь десятую долю грамма.
§ 28. Доказательство закона больших чисел
До сих пор мы рассматривали только случай, ко* гда все величины jci, х2, ... имеют одно и то же среднее значение и одно и то же среднее квадратическое уклонение. Однако закон больших чисел применяется н в более общих предположениях. Будем теперь рассматривать случай, когда средние значения величин Xi, х2, ... могут быть какими угодно числами (обозна^1 чим их соответственно через аи а2, ...), вообще го* воря, между собою различными Тогда средним значением величины
? = — (*! + Х2 + ... + хп),
очевидно, будет величина
А = — (я, + а2 + ... + ап),
причем, в силу неравенства Чебышева (I), при любом положительном а
Р(.и-Л|>а)< (3)
Мы видим, что все сводится к оценке величины Qf, но оценить эту величину здесь почти так же просто, как и в ранее рассмотренном частном случае. Q{ есть дисперсия величины ?, которая равна разделенной на п сумме п взаимно независимых случайных величин (предположение о взаимной независимости, разумеется, сохраняем). По правилу сложения дисперсий имеем поэтому
