Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Элементарное введение в теорию вероятностей" -> 35

Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей — Наука, 1970. — 169 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnoevvedeievteoriuveroyatnostey1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 53 >> Следующая

§25) ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ УКЛОНЕНИИ ИЗ

Так, если среднее значение измеряемой величины х = 200 м, а среднее квадратическое уклонение q = 5 м, то среднее арифметическое % согни результатов измерений будет, конечно, иметь своим средним значением то же число 200 м; но среднее квадратическое уклонение его будет в 1^100 = 10 раз меньше, чем для отдельного измерения, т. е. будет составлять

всего -^- = 0,5 м. Таким образом, имеются основания

ожидать, что среднее арифметическое согни фактических результатов измерений будет значительно ближе к среднему значению 200 м, чем результат того или другого отдельного измерения. Среднее арифметиче-ское большого числа взаимно независимых величин об-ладает во много раз меныиим рассеянием, чем каждая из этих величин в отдельности.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

§ 26. Неравенство Чебышева

Мы говорили уже много раз о том, что знание какого-либо из средних уклонений случайной величины (например, ее среднего квадратического уклонения) позволяет нам создать ориентировочное представление о том, как велики те уклонения фактических значений этой величины от ее среднего значения, которые нам следует ожидать. Однако это замечание само по себе не содержит еще никаких количественных оценок и не дает возможности хотя бы приближенно рассчитать, сколь вероятными могут оказаться большие уклонения. Все это позволяет сделать следующее простое рассуждение, проведенное впервые Чебышевым. Будем исходить из выражения дисперсии случайной величины х (стр. 103):

Ql='2(xi-xfPr

Пусть а — любое положительное число; если в только что Паписанной сумме мы выбросим все члены, где |х{ — х\ *Са, и оставим только те, где \Х{— х|>а, то от этого сумма может только уменьшиться:

Ql> 2 Pt-ZfPt.

I >а

Но эта сумма уменьшится еще более, если в каждом
НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

115

члене мы заменим множитель (х*— х)2 меньшей величиной а2:

Q;>a2 2 Pi-

| х{—л | >а

Сумма, стоящая теперь в правой части, есть сумма вероятностей всех тех значений Х{ случайной величины х, которые уклоняются от ж в ту или другую сторону больше, чем на а; по правилу сложения это есть вероятность того, что величина х получит какое-либо одно из этих значений. Другими словами, это есть вероятность Р(|дг — а:| > а) того, что фактически полученное уклонение окажется больше, чем а; таким образом, мы находим

P(|*-*|>a)<-J. (1)

Полученное соотношение называется неравенством Чебышева. Оно позволяет нам оценить вероятность укло^ нений, больших чем любое заданное число а, если только известно среднее квадратическое уклонение Qx* Правда, оценка, даваемая неравенством Чебышева, часто оказывается весьма грубой; все же иногда она может быть использована практически не говоря уже о том, что теоретические значение ее чрезвычайно велико.

В конце предыдущего параграфа мы рассматривали такой пример: среднее значение результатов измерений — 200 м, среднее квадратическое уклонение —• 5 м; при этих условиях вероятность фактически получить уклонение больше 3 м весьма ощутительна (можно думать, что она больше половины; точное значение ее может, конечно, быть найдено только тогда, когда полностью известен закон распределения результатов измерений). Но мы видели, что для среднего арифметического | сотни результатов измерений среднее квадратическое уклонение составляет всего 0,5 м. Поэтому в силу неравенства (1)

Р (||- 200 [> 3) < ~ 0,03.

8* Б. В. Гнеденко, А. Я. Хинчин
116

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

[ГЛ. 11

Таким образом, для среднего арифметического из 100 измерений вероятность получить уклонение более 3 м уже очень мала (на самом деле она еще значительно меньше полученной нами границы, так что практически можно совсем не считаться с возможностью такого уклонения).

В примере I на стр. 109—110 для числа бракованных изделий при проверке 60 ООО изделий мы получили среднее значение 2400 и среднее квадратическое укао-нение 48. Для вероятности того, что фактическое число бракованных изделий будет заключено, например, между 2300 и 2500, т.’е. | m — 24001 -<100, неравенство Чебышева дает

Р{|ш-2400|< 100}= 1 -Р{|/к-2400>100}>

' 482

';> 1__^ Г) 77

S' 1 JQQ2 1 •

На самом деле эта вероятность значительно больше.

§ 27. Закон больших чисел

Пусть мы имеем п взаимно независимых случайных величин хи х2, ..., хп с одним и' тем же средним значением а и одним и тем же средним квадратическим уклонением q; для среднего арифметического этих величин

g _ X/ + х2 + ... + хп

* п

как мы видели на стр. 112 среднее значение равно а,

а среднее квадратическое уклонение р.авно ; по-

\ п
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed