Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что таких примеров можно привести сколько угодно. Во всех этих примерах мы видим, что при однородны* массовых операциях (многократная стрельба, массовое производство изделий и т. п.) процент того или другого вида важных для нас событий (попадание в цель, нестандартность изделия и пр.) при данных условиях почти всегда бывает примерно одним и тем же, лишь в редких случаях уклоняясь сколько-нибудь значительно от некоторой средней цифры Можно поэтому сказать, что эта средняя цифра является характерным показателем данной массовой операции (при данных строго установленных условиях). Процент попадания описывает нам мастерство стрелка, процент брака оценивает нам доброкачественность продукции. Само собой понятно поэтому, что знание таких показателей очень важно в самых различных областях: военном деле, техннке, экономике, 'физике, химии и пр.: оно позволяет там не только оценивать уже происшедшие массовые явления, но и предвидеть исход тон или иной массовой операции в будущем.
Если стрелок в данных условиях стрельбы попадает b цель в среднем 92 из 100 выстрелов, то мы говорим, что для этого стрелка и в этих условиях вероятность попадания составляет 92% (или 92/100, или
0,92). Если в данных условиях в среднем на каждую 1000 готовых изделий некоторого предприятия приходится 16 бракованных, то мы говорим, что вероятность
ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
9
изготовления брака составляет для данного производства 0,016, или 1,6%.
Что же мы вообще называем вероятностью событий в данной массовой операции? На это теперь нетрудно ответить Массовая операция всегда состоит из повторения большого числа подобных между собою единичных операций (стрельба — из отдельных выстрелов, массовое производство — из изготовления отдельных предметов и т. п.). Нас интересует определенный результат единичной операции (попадание при единичном выстреле, нестандартность отдельного изделия и т. д ) и прежде всего—число таких результатов в той или другой массовой операции (сколько выстрелов попадет в цель, сколько изделий будет забраковано и т. д.). Процент (или вообще долю) таких «удачных» *) результатов в данной массовой операции мы н называем вероятностью этого важного для нас результата. При этом всегда надо иметь в виду, что вопрос о вероятности того или другого события (результата) имеет смысл только в точно определенных условиях, в которых протекает паша массовая операция. Всякое существенное изменение этих условий влечет за собой, как правило, изменение интересующей нас вероятности.
Если массовая операция такова, что событие А (например, попадание в цель) наблюдается в среднем а раз среди Ь единичных операций (выстрелов), то вероятность события А в данных условиях составляет а ( 100« п \
1или —^—%]. Можно сказать поэтому, что вероятностью «удачного» исхода единичной операции мы называем отношение в среднем наблюдающегося числа таких «удачных» исходов к числу всех единичных операций, составляющих данную массовую операцшо. Само собой разумеется, что если вероятность какого-
либо события равна у, то в каждой серии из Ь
*) Во втором примере скорее следовало бы сказать «неудачных» ’ Однако в теории вероятностей принят» называть «уличными»* те результаты, которые приводят к осуществлению события, интересующего нас в задаче.
10
ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИИ
[ГЛ I
единичных операций это событие может наступить и более чем а раз, и менее чем а раз; только в среднем оно наступает примерно а раз; и в большинстве таких серий из Ъ операций число наступлений события А будет близко к а, в особенности, если Ь — большое число.
Пример 1. В некотором городе в течение первого квартала родились:
в январе — 145 мальчиков и 135 девочек, в феврале—142 мальчика и 136 девочек, в марте — 152 мальчика и 140 девочек.
Как велика вероятность рождения мальчика? Доля рождения мальчиков:
14^
в январе: ~ 0,518 = 51,8^6,
149
в феврале: ~ 0,511 = 51,1 %,
в марте: *== 0 520 = 52,0°/о •
\
Мы видим, что это среднее арифметическое долей за отдельные месяцы близко к числу 0,516 = 51,6%; искомая вероятность в данных условиях составляет примерно 0,516, или 51,6%. Эта цифра хорошо известна в демографии — науке, изучающей динамику населения; оказывается, что доля рождения мальчика в обычных условиях в различные периоды времени не будет значительно отклоняться от этой цифры.
Пример 2. В начале прошлого века было открыто замечательное явление, получившее название (по имени открывшего его английского ботаника Броуиа) броуновского движения. Это явление закиочается в том, что мельчайшие частицы вещества, взвешенные в жидкости*), находятся в хаотическом движении, совершающемся без всяких видимых причин.
Долго не могли выяснить причину этого, казалось бы, самопроизвольного движения, пока кинетическая
ЕГ
*) То есть находящиеся в состоянии безразличного равновесия.
ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
